注意: 本ページでは、ガンマ行列のサイズ$N$は最小の$2^{\floor{\frac{n}{2}}}$とする。($n$は空間の次元である。)
ガンマ行列の定義式: \begin{align*} \qty{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}}=2\eta_{\mu\nu}\quad \qty( \eta_{\mu\nu} =\diag(\underbrace{+1,+1,\cdots,+1}_{\text{$s$個}},\underbrace{-1,-1,\cdots,-1}_{\text{$t$個}})\quad(s+t=n)) \end{align*} のエルミート共役をとると、$\pm \qty(\gamma_{\mu})^{\dag}$もまた、$\gamma_{\mu}$と同じ反交換関係をみたすことが分かる。このとき、パウリの基本定理により、$\pm \qty(\gamma_{\mu})^{\dag}$と$\gamma_{\mu}$は正則行列$A_{\lambda}$を用いて、 \begin{align} A_{\lambda}^{-1}\gamma_{\mu}A_{\lambda} =\lambda\qty(\gamma_{\mu})^{\dag}\quad\qty(\text{ただし、$\lambda=\pm 1$})\label{A def} \end{align} と、相似変換で結びつけられる。この行列$A_{\lambda}$をA行列と呼ぼう。以下、A行列の性質についてまとめる。
奇数次元における符号$\lambda$の一意性
A行列の符号$\lambda$は、次元$n$が偶数の場合は明らかに任意だが、次元$n$が奇数の場合は一意に$\lambda=(-1)^t=-(-1)^s$と定まる。これは、奇数次元のガンマ行列の構成法を思い出せば納得できる。
ガンマ行列のサイズを最小にとるとき、奇数$2r+1$次元のガンマ行列$\gamma_{\mu}^{(2r+1)}\ (\mu=1,2,\cdots, 2r+1)$は、$2r$次元のガンマ行列$\gamma_{\mu}^{(2r)}\ (\mu=1,2,\cdots, 2r)$と、$2r$次元のカイラリティ行列$\gamma_{*}^{(2r)}$を合わせた$2r+1$個の行列から構成できるのだった。即ち、$2r+1$次元においては、$2r$次元カイラリティ行列$\gamma_{*}^{(2r)}$に対しても\eqref{A def}式が成り立つ必要がある。今、$n=2r+1$次元を考え、$\gamma_{*}^{(n-1)}$を$A_{\lambda}^{-1},A_{\lambda}$で挟むと、
\begin{align*}
A_{\lambda}^{-1}\gamma_{*}^{(n-1)}A_{\lambda}
&=A_{\lambda}^{-1}(-i)^{\frac{s-t-1}{2}}\gamma_{1}^{(n-1)}\gamma_{2}^{(n-1)}\cdots\gamma_{n-1}^{(n-1)}A_{\lambda}\quad(\text{ただし、$s+t-1=n$})\\
&=(-i)^{\frac{s-t-1}{2}}\cancel{\lambda^{n-1}}\underbrace{(-1)^{\frac{1}{2}(n-1)(n-2)}}_{=(-1)^{\frac{n-1}{2}}}\qty(\gamma_{n-1}^{(n-1)})^{\dag}\qty(\gamma_{n-2}^{(n-1)})^{\dag}\cdots\qty(\gamma_{1}^{(n-1)})^{\dag}\\
&=\underbrace{(-1)^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{\frac{s-t-1}{2}}}_{=(-1)^t}\underbrace{(+i)^{\frac{s-t-1}{2}}\qty(\gamma_{n-1}^{(n-1)})^{\dag}\qty(\gamma_{n-2}^{(n-1)})^{\dag}\cdots\qty(\gamma_{1}^{(n-1)})^{\dag}}_{=\qty(\gamma_*^{(n-1)})^{\dag}}\\
&=(-1)^{t}\qty(\gamma_*^{(n-1)})^{\dag}
\end{align*}
だから、$\lambda=(-1)^t=-(-1)^s$でなければならない。
A行列の一般的な性質
A行列は定数倍を除いて一意
A行列は、定数倍を除いて一意に定まる。つまり、
\begin{align}
A_{\lambda}^{-1}\gamma_{\mu}A_{\lambda}
=\lambda\qty(\gamma_{\mu})^{\dag},\quad {A’_{\lambda}}^{-1}\gamma_{\mu}A’_{\lambda}
=\lambda\qty(\gamma_{\mu})^{\dag}\label{A var}
\end{align}
をみたす2つの行列$A_{\lambda}, A’_{\lambda}$があったとすると、これら2つの間には
\begin{align}
A’_{\lambda}=\alpha A_{\lambda}\ \qty(\alpha\in\mathbb{C})\label{A arbitrarity}
\end{align}
なる関係がある。
<証明>
\eqref{A var}の左式と右式を組み合わせて、
\begin{align*}
A_{\lambda}^{-1}\gamma_{\mu}A_{\lambda}
&=\lambda\qty(\gamma_{\mu})^{\dag}\\
A_{\lambda}^{-1}\gamma_{\mu}A_{\lambda}
&=\underbrace{\lambda^2}_{=1}{A’_{\lambda}}^{-1}\gamma_{\mu}A’_{\lambda}\\
\gamma_{\mu}A’_{\lambda}A_{\lambda}^{-1}
&=A’_{\lambda}A_{\lambda}^{-1}\gamma_{\mu}
\end{align*}
を得る。つまり、$A’_{\lambda}A_{\lambda}^{-1}$はすべての$\gamma_{\mu}$と可換である。今、ガンマ行列は最小サイズであるとしているから、これは、
\begin{align*}
A’_{\lambda}A_{\lambda}^{-1}
\propto\mathbf{1}
\Longleftrightarrow
A’_{\lambda}
=\alpha A_{\lambda}\quad(\alpha\in\mathbb{C})
\end{align*}
を意味する。
<証明終>
この定数$\alpha$は自由に選べる。それを利用して、本ブログでは、$\abs{\det A_{\lambda}}=1$となるようにA行列を規格化する。
A行列の変換
ガンマ行列を、
\begin{align}
\gamma_{\mu}\to \gamma_{\mu}’
=M^{-1}\gamma_{\mu}M\label{gamma transf}
\end{align}
と変換するとき、A行列は、
\begin{align}
A_{\lambda}\to A’_{\lambda}
=M^{-1}A_{\lambda} \qty(M^{-1})^{\dag} \label{A transf}
\end{align}
と変換される。
<証明>
\eqref{A def}式を、\eqref{gamma transf}式を用いて$\gamma’_{\mu}$で表すと、
\begin{align*}
A_{\lambda}^{-1}\qty(M\gamma’_{\mu}M^{-1})A_{\lambda}
&=\lambda\qty(M\gamma’_{\mu}M^{-1})^{\dag}\\
\qty(M^{-1}A_{\lambda}\qty(M^{-1})^{\dag})^{-1}\gamma’_{\mu}\qty(M^{-1}A_{\lambda}\qty(M^{-1})^{\dag})
&=\lambda\qty(\gamma’_{\mu})^{\dag}
\end{align*}
である。これは、A行列が$A_{\lambda}\to A’_{\lambda}=M^{-1}A_{\lambda}\qty(M^{-1})^{\dag}$と変換されることを意味する。
<証明終>
A行列のエルミート共役は元のA行列に比例
A行列のエルミート共役は元のA行列に比例する。比例係数は大きさ1の複素数、即ち、位相である:
\begin{align}
A_{\lambda}^{\dag}=e^{i\theta}A_{\lambda}\quad\qty(\text{$\theta$は実定数}).\label{A hermite}
\end{align}
<証明>
\eqref{A def}式のエルミート共役を取り、再び\eqref{A def}式を用いると、
\begin{align*}
A_{\lambda}^{\dag}\qty(\gamma_{\mu})^{\dag}\qty(A_{\lambda}^{-1})^{\dag}
&=\lambda\gamma_{\mu}\\
A_{\lambda}^{\dag}\qty(\lambda A_{\lambda}^{-1}\gamma_{\mu}A_{\lambda})\qty(A_{\lambda}^{-1})^{\dag}
&=\lambda\gamma_{\mu}\\
\gamma_{\mu}A_{\lambda}\underbrace{\qty(A_{\lambda}^{-1})^{\dag}}_{=\qty(A_{\lambda}^{\dag})^{-1}}
&=A_{\lambda}\qty(A_{\lambda}^{\dag})^{-1}\gamma_{\mu}
\end{align*}
である。つまり、$A_{\lambda}\qty(A_{\lambda}^{\dag})^{-1}$はすべての$\gamma_{\mu}$と可換だから、
\begin{align*}
A_{\lambda}\qty(A_{\lambda}^{\dag})^{-1}\propto\mathbf{1}
\end{align*}
である。比例係数を$\alpha$と置けば、
\begin{align*}
A_{\lambda}^{\dag}=\alpha A_{\lambda}
\end{align*}
である。この両辺のエルミート共役を取ると、
\begin{align*}
A_{\lambda}
=\alpha^*A_{\lambda}^{\dag}
=\alpha^*\alpha A_{\lambda}
\end{align*}
だから、$\alpha^*\alpha=1$、つまり、$\alpha$は位相$e^{i\theta}\ (\theta\in\mathbb{R})$である。
<証明終>
位相$e^{i\theta}$はガンマ行列の相似変換で不変
ガンマ行列を\eqref{gamma transf}式のように変換しても、\eqref{A hermite}式の位相$e^{i\theta}$は不変である。
<証明>
\eqref{A hermite}式の$A_{\lambda}$を、\eqref{A transf}式を用いて変換後の$A’_{\lambda}$で表すと、
\begin{align*}
A_{\lambda}^{\dag}&=e^{i\theta}A_{\lambda}\\
\qty(M A’_{\lambda} M^{\dag})^{\dag}&=e^{i\theta} M A’_{\lambda} M^{\dag}\\
M A’_{\lambda} M^{\dag}&=e^{i\theta} M A’_{\lambda} M^{\dag}\\
A’_{\lambda}&=e^{i\theta} M^{-1} M A’_{\lambda} M^{\dag} \qty(M^{-1})^{\dag}\\
A’_{\lambda}&=e^{i\theta} A’_{\lambda}
\end{align*}
となるから、この変換で$e^{i\theta}$は不変である。
<証明終>
エルミート基底におけるA行列
エルミート基底: \begin{align*} \qty(\gamma_{\mu})^{\dag} =\begin{cases} +\gamma_{\mu}\quad(\mu=1,2,\cdots,s)\\ -\gamma_{\mu}\quad(\mu=s+1,s+2,\cdots,n)\\ \end{cases} \end{align*} では、これまでに証明した一般的性質に加えて、次の性質が成り立つ: \begin{align*} \qty(A_{\lambda})^2\propto \mathbf{1},\quad \qty(A_{\lambda})^{\dag}\propto A_{\lambda},\quad \text{など…} \end{align*} これらの性質は、\eqref{A hermite}式や\eqref{A arbitrarity}式の場合と同様にして証明できる。
エルミート基底では、A行列を \begin{align*} \underbrace{\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_s}_{\text{$s$個}} \quad\text{または}\quad \underbrace{\gamma_{s+1}\gamma_{s+2}\cdots\gamma_n}_{\text{$t$個}} \end{align*} に比例するように選べる。要するに、エルミートまたは反エルミートなガンマ行列すべての積をA行列として選べるということである。 なぜなら、 例えば$\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_s$に$\qty(\gamma_{\mu})^{\dag}$を飛び越えさせると、 \begin{align*} \gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{s}\qty(\gamma_{\mu})^{\dag} &=\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{s}\qty(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s,-\gamma_{s+1},\cdots,-\gamma_{n})\\ &=(-1)^{s-1}\qty(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s,\gamma_{s+1},\cdots,\gamma_{n})\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{s}\\ &=(-1)^{s-1}\gamma_{\mu}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_s \end{align*} だからである。A行列を$\gamma_{s+1}\gamma_{s+2}\cdots\gamma_n$に比例するように選んだ場合も同様にして理解できる。
- $(-1)^{\frac{1}{2}(n-1)(n-2)}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}$については、位相因子の計算を参照するがよい。
$(-1)^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{\frac{s-t-1}{2}}$については、以下のように計算できる: \begin{align*} (-1)^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{\frac{s-t-1}{2}} &=(-1)^{\frac{n-1}{2}-\frac{s-t-1}{2}}\\ &=(-1)^{\frac{n-1}{2}-\frac{s+t-1-2t}{2}}\\ &=(-1)^{\frac{n-1}{2}-\frac{n-1-2t}{2}}\\ &=(-1)^{t}. \end{align*} なお、$(-1)^{t}=-(-1)^s$であることは、直ちに理解できる。
参考文献
- 谷井義彰, 臨時別冊・数理科学SGCライブラリ-82 超重力理論 超弦理論における役割, サイエンス社, 2011
- 今村洋介, 臨時別冊・数理科学SGCライブラリ-80 超弦理論の基礎 弦とブレーンの導入から, サイエンス社, 2011
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