ガンマ行列の転置とC行列(荷電共役行列)

注意: 本ページでは、ガンマ行列のサイズ$N$は最小の$2^{\floor{\frac{n}{2}}}$とする。($n$は空間の次元である。)

　ガンマ行列の定義式: \begin{align*} \qty{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}}=2\eta_{\mu\nu}\quad \qty( \eta_{\mu\nu} =\diag(\underbrace{+1,+1,\cdots,+1}_{\text{$s$個}},\underbrace{-1,-1,\cdots,-1}_{\text{$t$個}})\quad(s+t=n)) \end{align*} の転置をとると、$\pm \qty(\gamma_{\mu})^{t}$もまた、$\gamma_{\mu}$と同じ反交換関係をみたすことが分かる。このとき、パウリの基本定理により、$\pm \qty(\gamma_{\mu})^{t}$と$\gamma_{\mu}$は正則行列$C_{\kappa}$を用いて、 \begin{align} C_{\kappa}^{-1}\gamma_{\mu}C_{\kappa} =\kappa\qty(\gamma_{\mu})^{t}\quad\qty(\text{ただし、$\kappa=\pm 1$})\label{C def} \end{align} と、相似変換で結びつけられる。この行列$C_{\kappa}$はC行列または荷電共役行列と呼ばれる。以下、C行列の性質についてまとめる。

奇数次元における符号$\kappa$の一意性
C行列の一般的な性質
エルミート基底におけるC行列
参考文献

奇数次元における符号$\kappa$の一意性

　C行列の符号$\kappa$は、次元$n$が偶数の場合は明らかに任意だが、次元$n$が奇数の場合は一意に$\kappa=(-1)^{\frac{n-1}{2}}$と定まる。これは、奇数次元のガンマ行列の構成法を思い出せば納得できる。
　ガンマ行列のサイズを最小にとるとき、奇数$2r+1$次元のガンマ行列$\gamma_{\mu}^{(2r+1)}\ (\mu=1,2,\cdots, 2r+1)$は、$2r$次元のガンマ行列$\gamma_{\mu}^{(2r)}\ (\mu=1,2,\cdots, 2r)$と、$2r$次元のカイラリティ行列$\gamma_{*}^{(2r)}$を合わせた$2r+1$個の行列から構成できるのだった。即ち、$2r+1$次元においては、$2r$次元カイラリティ行列$\gamma_{*}^{(2r)}$に対しても\eqref{C def}式が成り立つ必要がある。今、$n=2r+1$次元を考え、$\gamma_{*}^{(n-1)}$を$C_{\kappa}^{-1},C_{\kappa}$で挟むと、 \begin{align*} C_{\kappa}^{-1}\gamma_{*}^{(n-1)}A_{\kappa} &=C_{\kappa}^{-1}(-i)^{\frac{s-t-1}{2}}\gamma_{1}^{(n-1)}\gamma_{2}^{(n-1)}\cdots\gamma_{n-1}^{(n-1)}C_{\kappa}\quad(\text{ただし、$s+t-1=n$})\\ &=(-i)^{\frac{s-t-1}{2}}\cancel{\kappa^{n-1}}\underbrace{(-1)^{\frac{1}{2}(n-1)(n-2)}}_{=(-1)^{\frac{n-1}{2}}}\qty(\gamma_{n-1}^{(n-1)})^{t}\qty(\gamma_{n-2}^{(n-1)})^{t}\cdots\qty(\gamma_{1}^{(n-1)})^{t}\\ &=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\underbrace{(-i)^{\frac{s-t-1}{2}}\qty(\gamma_{n-1}^{(n-1)})^{t}\qty(\gamma_{n-2}^{(n-1)})^{t}\cdots\qty(\gamma_{1}^{(n-1)})^{t}}_{=\qty(\gamma_*^{(n-1)})^{t}}\\ &=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\qty(\gamma_*^{(n-1)})^{t} \end{align*} だから、$\kappa=(-1)^{\frac{n-1}{2}}$でなければならない。

C行列の一般的な性質

C行列は定数倍を除いて一意

　C行列は、定数倍を除いて一意に定まる。つまり、 \begin{align} C_{\kappa}^{-1}\gamma_{\mu}C_{\kappa} =\kappa\qty(\gamma_{\mu})^{t},\quad {C’_{\kappa}}^{-1}\gamma_{\mu}C’_{\kappa} =\kappa\qty(\gamma_{\mu})^{t}\label{C var} \end{align} をみたす2つの行列$C_{\kappa}, C’_{\kappa}$があったとすると、これら2つの間には \begin{align} C’_{\kappa}=\alpha C_{\kappa}\ \qty(\alpha\in\mathbb{C})\label{C arbitrarity} \end{align} なる関係がある。

<証明>
　\eqref{C var}の左式と右式を組み合わせて、 \begin{align*} C_{\kappa}^{-1}\gamma_{\mu}C_{\kappa} &=\kappa\qty(\gamma_{\mu})^{t}\\ C_{\kappa}^{-1}\gamma_{\mu}C_{\kappa} &=\underbrace{\kappa^2}_{=1}{C’_{\kappa}}^{-1}\gamma_{\mu}C’_{\kappa}\\ \gamma_{\mu}C’_{\kappa}C_{\kappa}^{-1} &=C’_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\gamma_{\mu} \end{align*} を得る。つまり、$C’_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}$はすべての$\gamma_{\mu}$と可換である。今、ガンマ行列は最小サイズであるとしているから、これは、 \begin{align*} C’_{\kappa}C_{\kappa}^{-1} \propto\mathbf{1} \Longleftrightarrow C’_{\kappa} =\alpha C_{\kappa}\quad(\alpha\in\mathbb{C}) \end{align*} を意味する。
<証明終>

　この定数$\alpha$は自由に選べる。それを利用して、本ブログでは、$\abs{\det C_{\kappa}}=1$となるようにC行列を規格化する。

C行列の変換

　ガンマ行列を、 \begin{align} \gamma_{\mu}\to \gamma_{\mu}’ =M^{-1}\gamma_{\mu}M\label{C gamma transf} \end{align} と変換するとき、C行列は、 \begin{align} C_{\kappa}\to C’_{\kappa} =M^{-1}C_{\kappa} \qty(M^{-1})^{t} \label{C transf} \end{align} と変換される。

<証明>
　\eqref{C def}式を、\eqref{C gamma transf}式を用いて$\gamma’_{\mu}$で表すと、 \begin{align*} C_{\kappa}^{-1}\qty(M\gamma’_{\mu}M^{-1})C_{\kappa} &=\kappa\qty(M\gamma’_{\mu}M^{-1})^{t}\\ \qty(M^{-1}C_{\kappa}\qty(M^{-1})^{t})^{-1}\gamma’_{\mu}\qty(M^{-1}C_{\kappa}\qty(M^{-1})^{t}) &=\kappa\qty(\gamma’_{\mu})^{t} \end{align*} である。これは、C行列が$C_{\kappa}\to C’_{\kappa}=M^{-1}C_{\kappa}\qty(M^{-1})^{t}$と変換されることを意味する。
<証明終>

C行列は対称行列か反対称行列

　C行列は対称行列か反対称行列である: \begin{align} C_{\kappa}^{t}=\tau C_{\kappa}.\quad(\tau=\pm 1)\label{C trans} \end{align} <証明>
　\eqref{C def}式の転置を取り、再び\eqref{C def}式を用いると、 \begin{align*} C_{\kappa}^{t}\qty(\gamma_{\mu})^{t}\qty(C_{\kappa}^{-1})^{t} &=\kappa\gamma_{\mu}\\
C_{\kappa}^{t}\qty(\kappa C_{\kappa}^{-1}\gamma_{\mu}C_{\kappa})\qty(C_{\kappa}^{-1})^{t} &=\kappa\gamma_{\mu}\\ \gamma_{\mu}C_{\kappa}\underbrace{\qty(C_{\kappa}^{-1})^{t}}_{=\qty(C_{\kappa}^{t})^{-1}} &=C_{\kappa}\qty(C_{\kappa}^{t})^{-1}\gamma_{\mu} \end{align*} である。つまり、$C_{\kappa}\qty(C_{\kappa}^{t})^{-1}$はすべての$\gamma_{\mu}$と可換だから、 \begin{align*} C_{\kappa}\qty(C_{\kappa}^{t})^{-1}\propto\mathbf{1} \end{align*} である。比例係数を$\tau$と置けば、 \begin{align*} C_{\kappa}^{t}=\tau C_{\kappa} \end{align*} である。この両辺の転置を取ると、 \begin{align*} C_{\kappa} =\tau C_{\kappa}^{t} =\tau^2 C_{\kappa} \end{align*} だから、$\tau^2=1$、つまり、$\tau=\pm 1$である。
<証明終>

符号$\tau$は次元$n$と符号$\kappa$により定まる

　符号$\tau$は次元$n$と符号$\kappa$を用いて以下のように表される: \begin{align} \tau=(-1)^{\floor{\frac{1}{2}\floor{\frac{n}{2}}}}\kappa^{\floor{\frac{n}{2}}} \quad \kappa= \begin{cases} \pm 1 &\quad(\text{$n$が偶数のとき})\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} &\quad(\text{$n$が奇数のとき}). \end{cases} \end{align} <証明>
　まず、偶数$(n=2r)$次元の場合を考える。そのために、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa}$なる行列を考える。この行列の転置を取ると、 \begin{align*} \qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa})^t &=\qty(\kappa^k C_{\kappa}\gamma^t_{[\mu_1}\gamma^t_{\mu_{2}}\cdots\gamma^t_{\mu_k]})^t\\ &=\kappa^k \gamma_{[\mu_k}\gamma_{\mu_{k-1}}\cdots\gamma_{\mu_1]} C_{\kappa}^t\\ &=\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)} \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa} \end{align*} だから、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa}$は$\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}$が$+$か$-$かによって対称または反対称行列となる。以下対称行列を取り上げ、この数を数える。対称行列の総数は、 \begin{align} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2}\qty(1+\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)})\comb{n}{k}\label{sum sym} \end{align} と表わされる。$\comb{n}{k}$は$k$を固定したときの$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$の数、$\frac{1}{2}\qty(1+\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)})$は$\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}=+1$の場合のみを拾い上げる射影演算子である。
　\eqref{sum sym}式の和を計算しよう。まず、第1項は$\sum_{k=0}^n\comb{n}{k}=2^n$より、$\frac{1}{2}2^n$と計算できる。第2項を計算するために、$(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}$を以下のように変形する: \begin{align*} (-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)} =(-1)^{\frac{1}{2}k^2}(-1)^{\frac{1}{2}k} =\frac{1}{2}\qty[(1+i)+(1-i)(-1)^k]\underbrace{(-1)^{\frac{1}{2}k}}_{\mathclap{=(-i)^k}} =\frac{1}{2}\qty[(1+i)(-i)^k+(1-i)i^k]. \end{align*} すると、\eqref{sum sym}式は、 \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2}\qty(1+\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)})\comb{n}{k} &=\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}\tau\qty[(1+i)\sum_{k=0}^{n}\kappa^k(-i)^k\comb{n}{k}+(1-i)\sum_{k=0}^{n}\kappa^k i^k\comb{n}{k}]\\ &=\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}\tau\qty[(1+i)(1-i\kappa)^n+(1-i)(1+i\kappa)^n] \end{align*} と表される。
　以下、$(1+i)(1-i\kappa)^n+(1-i)(1+i\kappa)^n$の部分の計算を$\kappa=\pm 1$の値で場合分けして進めよう。

$\kappa=+1$のとき
\begin{align*} (1+i)(1-i)^n+(1-i)(1+i)^n &=(1+1)(1-i)^{n-1}+(1+1)(1+i)^{n-1}\\ &=2\sqrt{2}^{n-1}e^{-i\frac{\pi}{4}(n-1)}+2\sqrt{2}^{n-1}e^{+i\frac{\pi}{4}(n-1)}\\ &=\sqrt{2}^{n+1}2\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(n-1)]\\ &=2\sqrt{2}2^{\frac{n}{2}}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(n-1)]. \end{align*}
$\kappa=-1$のとき
\begin{align*} (1+i)(1+i)^n+(1-i)(1-i)^n &=(1+i)^{n+1}+(1-i)^{n+1}\\ &=\sqrt{2}^{n+1}e^{+i\frac{\pi}{4}(n+1)}+\sqrt{2}^{n+1}e^{-i\frac{\pi}{4}(n+1)}\\ &=\sqrt{2}2^{\frac{n}{2}}\cos\qty[\frac{\pi}{4}(n+1)]. \end{align*}

まとめると、 \begin{align*} (1+i)(1-i\kappa)^n+(1-i)(1+i\kappa)^n=2^{\frac{n}{2}}\sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(n-\kappa)] \end{align*} である。さらに、$\sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(n-\kappa)]$の部分は、 \begin{align*} \sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(n-\kappa)]=(-1)^{\floor{\frac{n}{4}}}\kappa^{\frac{n}{2}} \end{align*} とも書けることが容易に確かめられる。
　したがって、 \begin{align} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2}\qty(1+\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)})\comb{n}{k} &=\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\tau(-1)^{\floor{\frac{n}{4}}}\kappa^{\frac{n}{2}}\label{sum sym 2} \end{align} である。
　一方、ガンマ行列の反対称積の線形独立性から、この数は$2^{\frac{n}{2}}\times 2^{\frac{n}{2}}$行列のうち対称なものの数、即ち、$\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}(2^{\frac{n}{2}}+1)$に等しいはずである。したがって、\eqref{sum sym 2}式とこれを等置して、 \begin{align*} \frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\tau(-1)^{\floor{\frac{n}{4}}}\kappa^{\frac{n}{2}} &=\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}(2^{\frac{n}{2}}+1)\\ \tau&=(-1)^{\floor{\frac{n}{4}}}\kappa^{\frac{n}{2}} \end{align*} を得る。

　次に、奇数($n=2r+1$)次元の場合を考える。奇数次元の場合は、$\kappa=(-1)^{\frac{n-1}{2}}$であることを念頭に置けば、偶数($2r$)次元の場合とまったく同様の議論により、$\tau$が以下のように求まる: \begin{align*} \tau=\sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(n-1-\kappa)] =(-1)^{\floor{\frac{n-1}{4}}}\kappa^{\frac{n-1}{2}} \end{align*} 　以上、偶数次元と奇数次元の場合をまとめると、$\tau$は以下のように与えられる: \begin{align*} \tau=(-1)^{\floor{\frac{1}{2}\floor{\frac{n}{2}}}}\kappa^{\floor{\frac{n}{2}}} \quad \kappa=\begin{cases} \pm 1 &\quad(\text{$n$が偶数のとき})\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} &\quad(\text{$n$が奇数のとき}).\\ \end{cases} \end{align*} <証明終>

　次元$n$と符号$\kappa,\tau$の関係を表にまとめると、以下のようになる。明らかに、$\kappa,\tau$は$n\ \mod 8$の周期で繰り返す。

次元$n$と符号$\kappa,\tau$の関係
$n\ (\mod 8)$	0	1	2	3	4	5	6	7
$\kappa$	+/-	+	+/-	–	+/-	+	+/-	–
$\tau$	+	+	+/-	–	–	–	-/+	+

符号$\tau$はガンマ行列の相似変換で不変

　ガンマ行列を\eqref{C gamma transf}式のように変換しても、\eqref{C trans}式の符号$\tau$は不変である。
<証明>
　\eqref{C trans}式の$C_{\kappa}$を、\eqref{C transf}式を用いて変換後の$C’_{\kappa}$で表すと、 \begin{align*} C_{\kappa}^{t}&=\tau C_{\kappa}\\ \qty(M C’_{\kappa} M^{t})^{t}&=\tau M C’_{\kappa} M^{t}\\ M {C’_{\kappa}}^{t} M^{t}&=\tau M C’_{\kappa} M^{t}\\ {C’_{\kappa}}^{t}&=\tau M^{-1} M C’_{\kappa} M^{t} \qty(M^{-1})^{t}\\ {C’_{\kappa}}^{t}&=\tau C’_{\kappa} \end{align*} となるから、この変換で$\tau$は不変である。
<証明終>

エルミート基底におけるC行列

　エルミート基底: \begin{align*} \qty(\gamma_{\mu})^{\dag} =\begin{cases} +\gamma_{\mu}\quad(\mu=1,2,\cdots,s)\\ -\gamma_{\mu}\quad(\mu=s+1,s+2,\cdots,n)\\ \end{cases} \end{align*} では、これまでに証明した一般的性質に加えて、次の性質が成り立つ: \begin{align*} C_{\kappa}^{\dag}\propto C_{\kappa}^{-1}\quad C_{\kappa}^{*}\propto C_{\kappa}^{-1},\quad \text{など…} \end{align*} これらの性質は、\eqref{C arbitrarity}式や\eqref{C trans}式の場合と同様にして証明できる。

　特に、$n$次元ガンマ行列の構成で示した構成法では、ガンマ行列が \begin{align*} \qty(\gamma_{\mu})^{t} =\begin{cases} +\gamma_{\mu}\quad(\mu=1,2,\cdots,\ceil{\frac{n}{2}}-1,\ceil{\frac{n}{2}}+1)\\ -\gamma_{\mu}\quad(\mu=\ceil{\frac{n}{2}},\ceil{\frac{n}{2}}+2,\cdots,n)\\ \end{cases} \end{align*} をみたす。ただし、$\ceil{X}$は$X$以上の最小の整数を表す。これより、C行列を \begin{align*} \gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1} \quad\text{または}\quad \gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+2}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+3}\cdots\gamma_{n} \end{align*} に比例するように選べる。要するに、対称または反対称なガンマ行列のすべての積をC行列として選べるということである。なぜなら、例えば$\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1}$に$\qty(\gamma_{\mu})^{t}$を飛び越えさせると、 \begin{align*} \qty(\gamma_{\mu})^{t}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1} &=\qty(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1},-\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}},\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1},-\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+2},\cdots,-\gamma_{n})\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1}\\ &=(-1)^{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1}\qty(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1},\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}},\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1},\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+2},\cdots,\gamma_{n})\\ &=(-1)^{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}-1}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+1}\gamma_{\mu} \end{align*} だからである。C行列を$\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+2}\gamma_{\ceil{\frac{n}{2}}+3}\cdots\gamma_{n}$に比例するように選んだ場合も同様にして理解できる。

反対称行列を取り上げて考えたとしても議論は変わらない。

参考文献

藤井保憲, 超重力理論入門, マグロウヒルブック株式会社, 1987
様々な次元のスピノール https://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~yamaguch/j/research.html 研究