注意: 本ページにおいては、アインシュタインの縮約規約を用いず、和の記号を明示する。レビ・チビタ記号$\epsilon_{i_1i_2\cdots i_m}$は、他ページの下つき添え字のレビチビタ記号$\varepsilon_{i_1i_2\cdots i_m}$と同じ意味である: \begin{align*} \epsilon_{i_1i_2\cdots i_m}= \begin{cases} +1&\quad(\text{$(i_1,i_2,\cdots,i_m)$が偶順列のとき})\\ -1&\quad(\text{$(i_1,i_2,\cdots,i_m)$が奇順列のとき})\\ 0.&\quad(\text{それ以外}). \end{cases} \end{align*}
デルタ関数
1変数のデルタ関数
1変数のグラスマン数に対するデルタ関数は、次のように定義される:
\begin{align*}
\int\dd\mathcal{G}’ \delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})f(\mathcal{G}’)=f\qty(\mathcal{G}).
\end{align*}
このとき、デルタ関数は
\begin{align*}
\delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})=\mathcal{G}’-\mathcal{G}
\end{align*}
と書ける。なぜなら、
\begin{align*}
\int\dd\mathcal{G}’ \delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})f(\mathcal{G}’)
&=\int\dd\mathcal{G}’ \qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})\qty(f_0+f_1\mathcal{G}’)\\
&=\int\dd\mathcal{G}’
\qty(\mathcal{G}’f_0-\mathcal{G}f_0-\mathcal{G}f_1\mathcal{G}’)\\
&=f_0+\underbrace{((f_1)_d)_d}_{=f_1}\int\dd\mathcal{G}’\mathcal{G}’\mathcal{G}\\
&=f_0+f_1\mathcal{G}\\
&=f(\mathcal{G})
\end{align*}
となるからである。
グラスマン数のデルタ関数は明らかに
\begin{align*}
& \delta(0)=0 \\
& \delta(a\mathcal{G})=a\delta(\mathcal{G}) \quad\text{(ただし、$a$はe数)}\\
& \delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})=-\delta\qty(\mathcal{G}-\mathcal{G}’) \\
& \pdv{}{\mathcal{G}’}\delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})
=\int\dd\mathcal{G}’\delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})=1
\end{align*}
をみたす。
多変数のデルタ関数
多変数のデルタ関数は、1変数のデルタ関数を単純に掛け合わせることで得られる。ただし、余分なマイナスの因子が生じないように、デルタ関数の中のグラスマン数の並び方を決めておかなくてはならない。例えば、次の式の下線部のような並びで定義すると良いだろう: \begin{align*} &\int\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}’_m \underline{\delta(\mathcal{G}’_1-\mathcal{G}_1,\mathcal{G}’_2-\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}’_m-\mathcal{G}_m)}\\ &\quad=\int\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}’_m \underline{\qty(\mathcal{G}’_m-\mathcal{G}_m)\qty(\mathcal{G}’_{m-1}-\mathcal{G}_{m-1})\cdots\qty(\mathcal{G}’_1-\mathcal{G}_1)}. \end{align*}
デルタ関数の積分表示
1変数のデルタ関数の積分表示は、 \begin{align*} \delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})=\int\dd \mathcal{G}^{”} e^{\mathcal{G}^{”}\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})} \end{align*} と与えられる。それは以下のようにして確かめられる: \begin{align*} \int\dd \mathcal{G}^{”} e^{\mathcal{G}^{”}\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})} =\int\dd \mathcal{G}^{”}\qty[1+\mathcal{G}^{”}\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})] =\mathcal{G}’-\mathcal{G} =\delta\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G}). \end{align*} この積分表示の指数の肩にある量はグラスマン偶なe数だから、c数のように指数法則が成り立ち、また、$e^{\mathcal{G}^{”}\qty(\mathcal{G}’-\mathcal{G})}$自体もグラスマン偶である。このことから、デルタ関数の積分表示を容易に多変数版に拡張できる: \begin{align*} \delta(\mathcal{G}’_1-\mathcal{G}_1,\mathcal{G}’_2-\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}’_m-\mathcal{G}_m) =\int\dd \mathcal{G}^{”}_1\dd \mathcal{G}^{”}_2\cdots\dd \mathcal{G}^{”}_m \exp\qty[\sum_{i=1}^{m}\mathcal{G}^{”}_i\qty(\mathcal{G}’_i-\mathcal{G}_i)]. \end{align*}
ガウス積分
行列式を与えるガウス積分
以下のガウス積分は、指数の肩にある$m\times m$行列(成分はc数)の行列式を与える: \begin{align} \int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}_2\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}_m\dd\mathcal{G}’_m \exp\qty[\sum_{i,j=1}^{m}\mathcal{G}’_iA_{ij}\mathcal{G}_j]=\det A\label{gaussgrasmann} \end{align} <証明> \begin{align*} \text{\eqref{gaussgrasmann}式左辺}&\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}_2\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}’_m\dd\mathcal{G}_m \exp\qty[\sum_{i,j=1}^{m}\mathcal{G}’_iA_{ij}\mathcal{G}_j]\\ &(\text{$\mathcal{G}^{”}_i=A_{ij}\mathcal{G}_j$と置く。プライムなし測度を左に寄せる。})\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}m(m-1)}\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_m\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}’_m \exp\qty[\sum_{i=1}^{m}\mathcal{G}’_i\mathcal{G}^{”}_i]\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}m(m-1)}\int\det A\dd\mathcal{G}^{”}_1\dd\mathcal{G}^{”}_2\cdots\dd\mathcal{G}^{”}_m\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}’_m \exp\qty[\sum_{i=1}^{m}\mathcal{G}’_i\mathcal{G}^{”}_i]\\ &(\text{$\dd\mathcal{G}^{”},\dd\mathcal{G}$を交互に並べる。})\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}m(m-1)\times 2}\det A\int\dd\mathcal{G}^{”}_1\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}^{”}_2\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}^{”}_m\dd\mathcal{G}’_m \exp\qty[\sum_{i=1}^{m}\mathcal{G}’_i\mathcal{G}^{”}_i]\\ &=\det A\int\dd\mathcal{G}^{”}_1 \underbrace{\int\dd\mathcal{G}’_1 e^{\mathcal{G}’_1\mathcal{G}^{”}_1}}_{=\delta\qty(\mathcal{G}^{”}_1)}\dd\mathcal{G}^{”}_2 \underbrace{\int\dd\mathcal{G}’_2e^{\mathcal{G}’_2\mathcal{G}^{”}_2}}_{=\delta\qty(\mathcal{G}^{”}_2)}\cdots\dd\mathcal{G}^{”}_m \underbrace{\int\dd\mathcal{G}’_m e^{\mathcal{G}’_m\mathcal{G}^{”}_m}}_{=\delta\qty(\mathcal{G}^{”}_m)}\\ &=\det A\underbrace{\int\dd\mathcal{G}^{”}_1\delta\qty(\mathcal{G}^{”}_1)}_{=1} \underbrace{\int\dd\mathcal{G}^{”}_2\delta\qty(\mathcal{G}^{”}_2)}_{=1}\cdots \underbrace{\int\dd\mathcal{G}^{”}_m\delta\qty(\mathcal{G}^{”}_m)}_{=1}\\ &=\det A. \end{align*} <証明終>
パフィアンを与えるガウス積分
$2r\times 2r$反対称行列$A$のパフィアン$\pf A$は、以下のように定義される:
\begin{align}
\pf A=\frac{1}{2^r r!}\sum_{\substack{i_1,i_2,\cdots,i_r=1 \\ j_1,j_2,\cdots,j_r=1}}^{2r}\epsilon_{i_1j_1i_2j_2\cdots i_rj_r}A_{i_1 j_1}A_{i_2 j_2}\cdots A_{i_r j_r}.\label{pf def}
\end{align}
以下のガウス積分は、指数の肩にある$2r\times 2r$行列(成分はc数)のパフィアンを与える:
\begin{align}
\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{2r}\exp\qty[\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_iA_{i j}\mathcal{G}_j]=\pf A.\label{pf}
\end{align}
<証明>
\begin{align}
\text{\eqref{pf}式左辺}&=\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{m}\exp\qty[\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_iA_{i j}\mathcal{G}_j]\notag\\
&=\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{m}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\frac{1}{2^i}\qty(\sum_{j,k=1}^{2r}\mathcal{G}_jA_{j k}\mathcal{G}_k)^i\label{pf1}\\
&\text{($2r$個のグラスマン数が現れる項しか積分で生き残らない。)}\notag\\
&=\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{m}
\frac{1}{2^r r!}\sum_{\substack{i_1,i_2,\cdots,i_r=1 \notag\\ j_1,j_2,\cdots,j_r=1}}^{2r}\mathcal{G}_{i_1}A_{i_1 j_1}\mathcal{G}_{j_1}\mathcal{G}_{i_2}A_{i_2 j_2}\mathcal{G}_{j_2}\cdots\mathcal{G}_{i_r}A_{i_r j_r}\mathcal{G}_{j_r}\notag\\
&=\underbrace{\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{2r}\mathcal{G}_{2r}\mathcal{G}_{2r-1}\cdots\mathcal{G}_1}_{=1}\frac{1}{2^r r!}\sum_{\substack{i_1,i_2,\cdots,i_r=1 \notag\\ j_1,j_2,\cdots,j_r=1}}^{2r}\epsilon_{i_1j_1i_2j_2\cdots i_rj_r}A_{i_1 j_1}A_{i_2 j_2}\cdots A_{i_r j_r}\notag\\
&=\frac{1}{2^r r!}\sum_{\substack{i_1,i_2,\cdots,i_r=1 \notag\\ j_1,j_2,\cdots,j_r=1}}^{2r}\epsilon_{i_1j_1i_2j_2\cdots i_rj_r}A_{i_1 j_1}A_{i_2 j_2}\cdots A_{i_r j_r}\notag\\
&=\pf A\notag.
\end{align}
<証明終>
で示したとおり、パフィアンは行列式の平方根なのだった:
\begin{align*}
\qty(\pf A)^2=\det A.
\end{align*}
ここでは、\eqref{pf}式を2乗することでそれを示そう。
<証明>
まず、
\begin{align}
\qty(\pf A)^2
&=\qty(\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{2r}\exp\qty[\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_iA_{i j}\mathcal{G}_j])^2\notag\\
&\quad =\qty(\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{2r}\exp\qty[\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_iA_{i j}\mathcal{G}_j])
\qty(\int\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}’_{2r}\exp\qty[\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}’_kA_{k l}\mathcal{G}’_l])\notag\\
&\quad\text{(各指数関数の肩の量はグラスマン偶だから、指数法則が成り立つ。)}\notag\\
&\quad=\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_{2r}\dd\mathcal{G}’_1\dd\mathcal{G}’_2\cdots\dd\mathcal{G}’_{2r}
\exp\qty[\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}\qty(\mathcal{G}_iA_{i j}\mathcal{G}_j+\mathcal{G}’_iA_{ij}\mathcal{G}’_j)]\label{pf2}
\end{align}
ここで、\eqref{pf2}式最右辺の指数関数の肩を次のように変形する:
\begin{align*}
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}
\qty(\mathcal{G}_iA_{i j}\mathcal{G}_j
+\mathcal{G}’_iA_{ij}\mathcal{G}’_j)
&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}
\qty(\mathcal{G}_iA_{i j}\mathcal{G}_j
-i\mathcal{G}’_iA_{ij}\mathcal{G}_j
+\underbrace{i\mathcal{G}’_iA_{ij}\mathcal{G}_j}_{=i\mathcal{G}_iA_{ij}\mathcal{G}’_j}
+\mathcal{G}’_iA_{ij}\mathcal{G}’_j)\\
&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}
\qty{\qty(\mathcal{G}_i-i\mathcal{G}’_i)A_{ij}\mathcal{G}_j
+i\qty(\mathcal{G}_i-i\mathcal{G}’_i)A_{ij}\mathcal{G}’_j}\\
&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2r}\qty(\mathcal{G}_i-i\mathcal{G}’_i)A_{ij}\qty(\mathcal{G}_j+i\mathcal{G}’_j)\\
&\qty(\text{$\mathcal{G}_{A i}\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\qty(\mathcal{G}_i-i\mathcal{G}’_i),\quad
\mathcal{G}_{B i}\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\qty(\mathcal{G}_i+i\mathcal{G}’_i)$とおく})\\
&=\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_{A i}A_{ij}\mathcal{G}_{B j}.
\end{align*}
ここで一時的に、$\mathcal{G}_i$と$\mathcal{G}’_i$の添え字をまとめるために、
\begin{align*}
&\bar{\mathcal{G}}_I=
\begin{cases}
\mathcal{G}_I&\quad(\text{$I=1,2,\cdots,2r$のとき})\\
\mathcal{G}’_{I-2r}&\quad(\text{$I=2r+1,2r+2,\cdots,4r$のとき}),
\end{cases}\\
&\bar{\mathcal{G}}’_I
=
\begin{cases}
\mathcal{G}_{A I}&\quad(\text{$I=1,2,\cdots,m$のとき})\\
\mathcal{G}_{B I-2r}&\quad(\text{$I=2r+1,2r+2,\cdots,4r$のとき})
\end{cases}
\end{align*}
と書くことにする。$\bar{\mathcal{G}}_I$と$\bar{\mathcal{G}}’_I$の間の変換は、
\begin{align*}
\bar{\mathcal{G}}_I
&=
\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2}}\qty(\bar{\mathcal{G}}’_I+\bar{\mathcal{G}}’_{I+2r})\quad(\text{$I=1,2,\cdots,2r$のとき})\\
\frac{1}{\sqrt{2}}\qty(i\bar{\mathcal{G}}’_{I-2r}-i\bar{\mathcal{G}}’_I)\quad(\text{$I=2r+1,2r+2,\cdots,4r$のとき})
\end{cases}\\
&=\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{2}}\qty(\delta_{IJ}+\delta_{I+2r J})\bar{\mathcal{G}}’_{J}\quad(\text{$I=1,2,\cdots,2r$のとき})\\
\frac{1}{\sqrt{2}}\qty(i\delta_{I-2r J}-i\delta_{IJ})\bar{\mathcal{G}}’_{J}\quad(\text{$I=2r+1,2r+2,\cdots,4r$のとき})
\end{cases}\\
&=\sum_{J=1}^{4r}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\mqty(\mathbf{1}_{2r} & \mathbf{1}_{2r} \\ i\mathbf{1}_{2r} & -i\mathbf{1}_{2r})_{IJ}}_{\equiv J_{IJ}}\bar{\mathcal{G}}’_{J}\\
&=\sum_{J=1}^{4r} J_{IJ}\bar{\mathcal{G}}’_J
\end{align*}
と表わされる。この変換行列$J_{IJ}$の行列式は、
\begin{align*}
\det J
&=\qty(\frac{1}{\sqrt{2}})^{4r}\det\qty(\mathbf{1}_{2r})\det\qty(-i\mathbf{1}_{2r}-\qty(i\mathbf{1}_{2r})\qty(\mathbf{1}_{2r})^{-1}\mathbf{1}_{2r})\\
&=\qty(\frac{1}{2})^{2r}\det\qty(-i\mathbf{1}_{2r}-i\mathbf{1}_{2r})\\
&=\qty(\frac{1}{2})^{2r}\det\qty(-2i\mathbf{1}_{2r})\\
&=\qty(\frac{1}{2})^{2r}(-2)^{2r} i^{2r}\\
&=(-i)^{2r}\\
&=(-1)^r
\end{align*}
と計算される。したがって、
\begin{align*}
\text{\eqref{pf2}式最右辺}
&=\int\dd\bar{\mathcal{G}}_1\dd\bar{\mathcal{G}}_2\cdots\dd\bar{\mathcal{G}}_{4r}
\exp\qty[\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_{A i}A_{ij}\mathcal{G}_{B j}]\\
&\text{(積分変数の変数変換を行う)}\\
&=\frac{1}{\det J}\int \dd\bar{\mathcal{G}}’_{1}\dd\bar{\mathcal{G}}’_{2}\cdots\dd\bar{\mathcal{G}}’_{4r}
\exp\qty[\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_{A i}A_{ij}\mathcal{G}_{B j}]\\
&=(-1)^{r}\int\dd\mathcal{G}_{A 1}\dd\mathcal{G}_{A 2}\cdots\dd\mathcal{G}_{A 2r}\dd\mathcal{G}_{B 1}\dd\mathcal{G}_{B 2}\cdots\dd\mathcal{G}_{B 2r}
\exp\qty[\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_{A i}A_{ij}\mathcal{G}_{B j}]\\
&\text{(積分変数を並べ替える)}\\
&=(-1)^{r} (-1)^{\frac{1}{2}2r(2r-1)}\underbrace{\int\dd\mathcal{G}_{A 1}\dd\mathcal{G}_{B 1}\dd\mathcal{G}_{A 2}\dd\mathcal{G}_{B 2}\cdots\dd\mathcal{G}_{A 2r}\dd\mathcal{G}_{B 2r}
\exp\qty[\sum_{i,j=1}^{2r}\mathcal{G}_{A i}A_{ij}\mathcal{G}_{B j}]}_{\text{\eqref{gaussgrasmann}式より$=\det A$}}\\
&=\cancel{(-1)^{r-r}}\det A\\
&=\det A
\end{align*}
と求まる。
<証明終>
この事実は、\eqref{pf}式では、\eqref{gaussgrasmann}式より積分変数の数が半分になっていることからも直感的に理解できる。
- \eqref{pf def}式では、行列$A$を「偶数サイズの反対称行列」としており、それ以外の場合は定義していない。しかし、\eqref{pf}式をパフィアンの定義式とみなせば、行列$A$は任意としてよい。
まず、反対称性条件の緩和についてだが、$A$が反対称でなくとも、反対称部分だけがパフィアンに寄与する。なぜなら、\eqref{pf}式左辺の積分においては、$A$の左右のグラスマン数が同種であるため、$A$の成分の対称部分からの寄与は$0$となるからである。
次に、サイズが偶数である条件の緩和についてだが、$A$が奇数サイズのとき、パフィアンは0となる。以下、\eqref{pf}式において、$2r\to 2r+1$と置き換えてその理由を説明する。\eqref{pf1}式右辺の$\sum_{i=0}^{\infty}$内では、グラスマン数の多重積分の性質から、$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}_{2r+1}$の全てが1個ずつ現れる項しか生き残らない。ところが、$2r+1$は奇数だから、そのような項は生じず、$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}_{2r+1}$のうち$2r$個が全て1個ずつ現れる項しか現れない。このような項の積分は0になってしまう。よって、$A$のサイズが奇数のとき、この積分は0を与えることが分かる。
参考文献
- M.B. Swanson, 青山秀明/川村浩之/和田信也 訳, 経路積分法-量子力学から場の理論へ-, 吉岡書店, 1996
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