ガンマ行列-3-トレース

\begin{equation}\label{nm1} \begin{split} \tr\qty[\gamma^{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l}] =\sum_{m=0}^{\min(k,l)}(-1)^{\frac{1}{2}m\qty(2k-m-1)}\frac{k! l!}{(k-m)! (l-m)! m!}\delta^{[\mu_1}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_m\phantom{[}}_{\nu_m\phantom{[}}\tr\qty[\gamma^{{\mu_{m+1}}\cdots {{\mu_k}}]}{}_{{\nu_{m+1}}\cdots{\nu_l}]}] \end{split} \end{equation} である。右辺の反対称積のトレースは、\eqref{gamma anti trace1}式または\eqref{gamma anti trace2}式により求まる。ここから場合分けをして考えていく。

1. $n$が偶数のとき
   　\eqref{nm1}式右辺は、$k,l \leq n$かつ$k=l$の場合に$m=k$の項のみが残り、それ以外の場合は0である。したがって、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}] &=\delta_{kl}(-1)^{\frac{1}{2}k(2k-k-1)}\frac{k!k!}{(k-k)!(k-k)!k!}\delta^{[\mu_1}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_k]}_{\nu_k]}\tr\qty[\mathbf{1}_N]\\ &=\delta_{kl}(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}Nk!\delta^{[\mu_1}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_k]}_{\nu_k]} \end{align*} である。ここで、一般化されたクロネッカーのデルタを用いて、 \begin{align*} \delta^{[\mu_1}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_k]}_{\nu_k]} =\delta^{\mu_1\phantom{[}}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_k\phantom{[}}_{\nu_k]} =\frac{1}{k!}\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_k} \end{align*} と表わせることと、$(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}=(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}$であることを使うと、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}] =\delta_{kl}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}N\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots\nu_k} \end{align*} が得られる。


2. $n$が奇数のとき
   　証明方法は先ほどの場合と同じで、$k=l$の場合の項が残るという結論に至るまでは平行的である。今は$n$が奇数だから、新たに$k+l \geq n$の場合に\eqref{nm1}式右辺のガンマ行列の反対称積が$n$階になるとき、即ち、$k-m+l-m=n\Longleftrightarrow k+l-2m=n$となる場合を考慮すべきである。なぜなら、ガンマ行列の$n$階の反対称積は$n$次元のカイラリティ行列に比例し、$n$が奇数の場合はそのトレースが0となる保証がないからである。
   　以上の理由から、$k=l$の場合の項のほかに、$k+l$が奇数の場合に、$m=\frac{k+l-n}{2}$の項が残る。この項の$\gamma^{\mu_{m+1}\cdots \mu_k}{}_{\nu{m+1}\cdots \nu_l}$は$n$階だから、 \begin{align*} \gamma^{\mu_{m+1}\cdots \mu_k}{}_{\nu{m+1}\cdots \nu_l} &=\eta^{\mu_{m+1}\rho_{m+1}}\eta^{\mu_{m+2}\rho_{m+2}}\cdots\eta^{\mu_{k}\rho_{k}}\gamma_{\rho_{m+1}\rho_{m+2}\cdots \rho_{k}\nu_{m+1}\nu_{m+2}\cdots \nu_{k}}\\ &=\eta^{\mu_{m+1}\rho_{m+1}}\eta^{\mu_{m+2}\rho_{m+2}}\cdots\eta^{\mu_{k}\rho_{k}}\varepsilon_{\rho_{m+1}\rho_{m+2}\cdots \rho_{k}\nu_{m+1}\nu_{m+2}\cdots \nu_{k}}\underbrace{\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n}_{=i^{\frac{s-t-1}{2}}\gamma_*}\\ &=i^{\frac{s-t-1}{2}}\varepsilon^{\mu_{m+1}\mu_{m+2}\cdots \mu_k}{}_{\nu_{m+1}\nu_{m+1}\cdots \nu_l}\gamma_* \end{align*} と表わされることを使えば、 \begin{equation*} \begin{split} \tr\qty[\gamma^{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l}] &=\underbrace{(-1)^{\frac{1}{2}m\qty(2k-m-1)}\frac{k! l!}{(k-m)! (l-m)! m!}i^{\frac{s-t-1}{2}}\tr\qty[\gamma_*]}_{\text{$=C(k,l,n)$とおく。}}\delta^{[\mu_1}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_m\phantom{[}}_{\nu_m\phantom{[}}\varepsilon^{{\mu_{m+1}}{\mu_{m+2}}\cdots {\mu_k}]}_{\hspace{70pt}{\nu_{m+1}}{\nu_{m+2}}\cdots {\nu_l}]}\\ &=C(k,l,n)\delta^{[\mu_1}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_m\phantom{[}}_{\nu_m\phantom{[}}\varepsilon^{{\mu_{m+1}}{\mu_{m+2}}\cdots {\mu_k}]}_{\hspace{70pt}{\nu_{m+1}}{\nu_{m+2}}\cdots {\nu_l}]} \end{split} \end{equation*} が得られる。「$k+l > n$かつ$n,k+l$が奇数」という条件を、$m=\frac{k+l-n}{2}$を使って、 \begin{align*} \frac{1+(-1)^{2m}}{2}\vartheta(m) \end{align*} と表し、$k=l$の場合を表す項と統合すれば、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma^{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l}] =\delta_{kl}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}N\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_k} +\frac{1+(-1)^{2m}}{2}\vartheta(m)C(k,l,n)\delta^{[\mu_1}_{[\nu_1}\delta^{\mu_2\phantom{[}}_{\nu_2\phantom{[}}\cdots\delta^{\mu_m\phantom{[}}_{\nu_m\phantom{[}}\varepsilon^{{\mu_{m+1}}{\mu_{m+2}}\cdots{\mu_k}]}_{\hspace{70pt}{\nu_{m+1}}{\nu_{m+2}}\cdots{\nu_l}]} \end{align*} が得られる。

　こうして、\eqref{gamma ortho}式が示された。
<証明終>

実用上の公式

　\eqref{gamma ortho}式は、専ら「$n$が偶数かつ$k,l \leq n$の場合」または「$n$が奇数かつ$k+l < n$の場合」においてのみ使われる。したがって実用上、この公式は、

$n$が偶数かつ$k,l\leq n$、または$n$が奇数かつ$k+l<n$のとき \begin{equation} \label{practical ortho} \tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}] =\delta_{kl}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}N\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l} \end{equation} として扱ってよい。

ガンマ行列のいくつかの積のトレース

　ガンマ行列のいくつかの積のトレースは以下のようになる: \begin{equation}\label{prod1} \begin{split} &\tr\qty[\gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}\cdots\gamma_{\mu_k}]\\ &= \begin{cases} &\displaystyle N\sum_{\sigma\in F_{k,\frac{k}{2}}}\sgn(\sigma)\eta_{\mu_{\sigma_1}\mu_{\sigma_2}}\eta_{\mu_{\sigma_3}\mu_{\sigma_4}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_{k-1}}\mu_{\sigma_{k}}} \quad(\text{$k$が偶数のとき})\\ &\\ &\displaystyle \frac{1}{n!}i^{\frac{s-t-1}{2}}\tr\qty[\gamma_*]\sum_{\sigma\in F_{k,\frac{k-n}{2}}}\sgn(\sigma)\eta_{\mu_{\sigma_1}\mu_{\sigma_2}}\eta_{\mu_{\sigma_3}\mu_{\sigma_4}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_{k-n-1}}\mu_{\sigma_{k-n}}}\varepsilon_{\mu_{\sigma_{k-n+1}}\mu_{\sigma_{k-n+2}}\cdots\mu_{\sigma_{k}}} \quad(\text{$n$と$k$がともに奇数で、$k\geq n$のとき})\\ &\\ &0\quad(\text{上記以外のとき}). \end{cases} \end{split} \end{equation} ただし、$F_{k,m}$は$n$次対称群$S_k$の部分集合である: \begin{align}F_{k,m}=\qty{\sigma\in S_k | \sigma_{2p-1}<\sigma_{2p}\quad (p=1,2,\cdots, m),\quad\sigma_{1}<\sigma_{3}<\cdots<\sigma_{2m-1}}. \end{align} <証明>
　ガンマ行列-2-反対称積で証明した反対称積の展開公式(??)を使って、$\gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}\cdots\gamma_{\mu_k}$を反対称積によって展開すると、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}\cdots\gamma_{\mu_k}] =\sum_{m=0}^{\floor{\frac{k}{2}}}\frac{1}{(k-2m)!}\sum_{\sigma\in F_{k,m}}\sgn(\sigma)\eta_{\mu_{\sigma_1}\mu_{\sigma_2}}\eta_{\mu_{\sigma_3}\mu_{\sigma_4}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_{2m-1}}\mu_{\sigma_{2m}}}\tr\qty[\gamma_{\mu_{\sigma_{2m+1}}\cdots \mu_{\sigma_k}}] \end{align*} である。
　この$\tr\qty[\gamma_{\mu_{\sigma_{2m+1}}\cdots \mu_{\sigma_k}}]$に\eqref{gamma anti trace1}式を適用すると、\eqref{prod1}式が直ちに得られる。
<証明終>

　特に、4次元ミンコフスキー時空において、ガンマ行列を最小サイズ$4$に取り、$k=4$の場合を考えると、\begin{align} \tr\qty[\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\sigma}] &=4\qty(\eta_{\mu\nu}\eta_{\rho\sigma}-\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}+\eta_{\mu\sigma}\eta_{\nu\rho}) \end{align} が得られる。

カイラリティ行列が関わる公式

カイラリティ行列のトレース

　次元$n$が偶数のとき、カイラリティ行列のトレースは0である: \begin{align} \tr[\gamma_*]=0\quad(\text{$n$が偶数のとき}).\label{gamma* tr} \end{align} <証明>
　$\tr[\gamma_*]\propto\tr\qty[\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n]$だが、トレースの巡回性より、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n] =\tr\qty[\gamma_n\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_{n-1}] \end{align*} である。一方、トレースの中身の$\gamma_n$を、$n-1$個のガンマ行列を飛び越えさせることで左に移すと、\begin{align*} \tr\qty[\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n] =\underbrace{(-1)^{n-1}}_{=-1}\tr\qty[\gamma_n\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_{n-1}] =-\tr\qty[\gamma_n\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_{n-1}] \end{align*} である。これら2つの結果より、$n$が偶数のとき、$\tr[\gamma_*]=0$であることが示される。
<証明終>

カイラリティ行列と反対称積のトレース

　カイラリティ行列とガンマ行列の反対称積の積のトレースは以下のようになる: \begin{align*} \tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}] &= \begin{cases} i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}N\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n} &\quad(\text{$k=n$のとき})\\ \tr\qty[\gamma_*] &\quad(\text{$n$が奇数かつ$k=0$のとき})\\ 0&\quad(\text{上記以外のとき}).\\ \end{cases} \end{align*} <証明>
　まず、$k\neq n$の場合を考える。$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$に対して、ガンマ行列-2-反対称積の双対公式(??)を適用すると、 \begin{align*} \tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}] &=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\frac{s+3t}{2}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}} \tr\qty[\underbrace{\gamma_*\gamma_*}_{=\mathbf{1}_N}\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}]\\ &=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\frac{s+3t}{2}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}} \tr\qty[\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}] \end{align*} である。$\tr\qty[\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}]$に\eqref{gamma anti trace2}式を適用すれば、$k=n$の場合のみが0でない値を取り、 \begin{align*} \tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}] &=(-1)^{\floor{\frac{n}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}} N \end{align*} となる。
ここで、$n=s+t$であることに注意して、位相因子を \begin{align*} (-1)^{\floor{\frac{n}{2}}}(-i)^{\frac{s+3t}{2}} =i^{\floor{\frac{s-t}{2}}} \end{align*} と変形すれば、 \begin{align*} \tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}] &=i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}N \end{align*} が示される。
　$n$が奇数で$k=0$のときは、反対称積が単位行列だから、明らかに、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}] =\tr\qty[\gamma_*\cdot\mathbf{1}_N] =\tr\qty[\gamma_*] \end{align*} である。
　$n$が偶数で$k=0$のときは、\eqref{gamma* tr}式より0である。
<証明終>

その他の公式

　ガンマ行列の積のトレースは、積の順番を逆順に並べ替えると以下のようになる。特に、偶数個のガンマ行列の積のトレースはこの並べ替えで不変である: \begin{align*} \tr\qty[\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_{l}}] =\kappa^l\tr\qty[\gamma^{\mu_{l}}\gamma^{\mu_{l-1}}\cdots\gamma^{\mu_1}]\quad(\text{ただし、$\kappa=\pm 1$.}) \end{align*} <証明>
　ガンマ行列の転置とC行列(荷電共役行列)で導入する$C$行列$C_{\kappa}\ (\kappa=\pm 1)$について、 \begin{align*} C_{\kappa}^{-1}\gamma^{\mu}C_{\kappa} =\kappa\qty(\gamma^{\mu})^t \end{align*} だから、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_{l}}] &=\tr\qty[C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\gamma^{\mu_1}C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\gamma^{\mu_2}C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\cdots C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\gamma^{\mu_{l}}C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}]\\ &\quad\qty(\text{トレースの巡回性を使う。})\\ &=\tr\qty[C_{\kappa}^{-1}\gamma^{\mu_1}C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\gamma^{\mu_2}C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\cdots C_{\kappa}C_{\kappa}^{-1}\gamma^{\mu_{l}}C_{\kappa}]\\ &=\tr\qty[\qty(\kappa\gamma^{\mu_1})^t\qty(\kappa\gamma^{\mu_2})^t\cdots\qty(\kappa\gamma^{\mu_{l}})^t]\\ &=\kappa^l\tr\qty[\qty(\gamma^{\mu_1})^t\qty(\gamma^{\mu_2})^t\cdots\qty(\gamma^{\mu_{l}})^t]\\ &=\kappa^l\tr\qty[\qty(\gamma^{\mu_{l}}\gamma^{\mu_{l-1}}\cdots\gamma^{\mu_{1}})^t]\\ &=\kappa^l\tr\qty[\gamma^{\mu_{l}}\gamma^{\mu_{l-1}}\cdots\gamma^{\mu_{1}}] \end{align*} が示される。最後の等式では$\tr\qty[A]=\tr\qty[A^t]$であることを用いた。
<証明終>

参考文献

1. ガンマ行列の内積とトレース https://cf949217.cloudfree.jp/rqm/rqm.html 物理のぺーじ♥
2. formula.pdf (v20230329) https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~hideo.kodama/library.html 未知探訪