ガンマ行列-2-反対称積

　ガンマ行列の反対称積に関する公式をまとめる。

反対称積の積の展開(反対称積の展開公式)

具体的な例

　ガンマ行列の反対称積を2つ掛け合わせたものは、以下のような手続きによって展開できる。

例1 $\gamma_{\mu\nu}\gamma_{\rho}$

　まず、 \begin{align*} \gamma_{\mu\nu}\gamma_{\rho} =\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\quad(\mu\neq\nu) \end{align*} である。この右辺について、以下の3つの場合に分けて考える。

• $\mu,\nu,\rho$がすべて異なる場合
  この場合は、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}=\gamma_{\mu\nu\rho} \end{align*} と書ける。


• $\mu=\rho$の場合
  $\gamma_{\mu}$と$\gamma_{\rho}$を隣り合わせてから積を取り、
  \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}= -\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\gamma_{\rho}= -\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu} \end{align*} となる。


• $\nu=\rho$の場合
  隣合った$\gamma_{\nu}$と$\gamma_{\rho}$の積を取り、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho} =\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu} \end{align*} となる。

　以上の3つの場合は排反であるから、これらをまとめて書くと、\begin{align*} \gamma_{\mu\nu}\gamma_{\rho} =\gamma_{\mu\nu\rho}
-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu}+\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu} \end{align*} となる。

例2 $\gamma_{\mu\nu}\gamma_{\rho\lambda}$

　まず、 \begin{align*} \gamma_{\mu\nu}\gamma_{\rho\lambda} =\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda}\quad(\mu\neq \nu,\ \rho\neq \lambda) \end{align*} である。この右辺について、以下の7つの場合に分けて考える。

• $\mu,\nu,\rho,\lambda$がすべて異なる場合
  この場合は、\begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =\gamma_{\mu\nu\rho\lambda} \end{align*} と書ける。


• $\mu=\rho, \nu\neq \lambda$の場合
  $\gamma_{\mu}$と$\gamma_{\rho}$を隣り合わせてから積を取り、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda} =-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu\lambda} \end{align*} となる。


• $\mu=\lambda, \nu\neq \rho$の場合
  $\gamma_{\mu}$と$\gamma_{\lambda}$を隣り合わせてから積を取り、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\gamma_{\lambda}\gamma_{\rho} =\eta_{\mu\lambda}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho} =\eta_{\mu\lambda}\gamma_{\nu\rho} \end{align*} となる。


• $\nu=\rho, \mu\neq \lambda$の場合
  隣合った$\gamma_{\nu}$と$\gamma_{\rho}$の積を取り、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu}\gamma_{\lambda} =\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu\lambda} \end{align*} となる。


• $\nu=\lambda, \mu\neq \rho$の場合
  $\gamma_{\nu}$と$\gamma_{\lambda}$を隣り合わせてから積を取り、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =-\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\gamma_{\rho} =-\eta_{\nu\lambda}\gamma_{\mu}\gamma_{\rho} =-\eta_{\nu\lambda}\gamma_{\mu\rho} \end{align*} となる。


• $\mu=\rho,\nu=\lambda$の場合
  $\gamma_{\mu}$と$\gamma_{\rho}$を隣り合わせて積を取り、次いで$\gamma_{\nu}$と$\gamma_{\lambda}$の積を取れば、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda} =-\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\lambda} \end{align*} となる。


• $\mu=\lambda,\nu=\rho$の場合
  隣合った$\gamma_{\nu}$と$\gamma_{\rho}$の積を取り、次いで$\gamma_{\mu}$と$\gamma_{\lambda}$の積を取れば、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} =\eta_{\mu\lambda}\gamma_{\mu}\gamma_{\lambda} =+\eta_{\mu\lambda}\eta_{\nu\rho} \end{align*} となる。

　以上の7つの場合は排反であるから、これらをまとめて書くと、\begin{align*} \gamma_{\mu\nu}\gamma_{\rho\lambda} &=\gamma_{\mu\nu\rho\lambda}\\
&\qquad -\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu\lambda} +\eta_{\mu\lambda}\gamma_{\nu\rho} +\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu\lambda} -\eta_{\nu\lambda}\gamma_{\mu\rho}\\ &\quad\qquad -\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\lambda}+\eta_{\mu\lambda}\eta_{\nu\rho} \end{align*} となる。

　以上の2つの例で行った、「添え字の等しいガンマ行列を隣り合わせて掛け合わせる操作」を縮約という。$\gamma_{\mu}$と$\gamma_{\nu}$を縮約させるとき、これを単に「$\mu$と$\nu$を縮約する」ということもある。

一般の場合

　前項の内容を一般化しよう。ガンマ行列$k$個の反対称積$\gamma_{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}$とガンマ行列$l$個の反対称積$\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l}$の積は、以下のように展開できる。これを、反対称積の展開公式と呼ぼう:

<証明>
　この公式は、和の$m$項目の意味を考えることで納得できる。$m$項目は、$\gamma_{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}$のうちの$m$個と$\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l}$のうちの$m$個のガンマ行列を1ペアずつ縮約する場合に対応する。

　まず、$\gamma_{\mu_1}$と$\gamma_{\nu_1}$、$\gamma_{\mu_2}$と$\gamma_{\nu_2}$、$\cdots$、$\gamma_{\mu_m}$と$\gamma_{\nu_m}$を縮約する場合を考えよう。これらのペアを隣り合わせるために、$\gamma_{\mu_1 \mu_2\cdots, \mu_k}$における添え字$(\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_k)$について、$\mu_1,\cdots \mu_m$を逆順に並べ換え、次いでそれらをまるごと右側へ動かし、$(\mu_{m+1}, \mu_{m+2}, \cdots, \mu_{k}, \mu_m, \mu_{m-1}, \cdots, \mu_1)$とする。この手続きにより、符号$(-1)^{\frac{1}{2}m(2k-m-1)}$が現れる。なぜなら、まず$\mu_1,\cdots \mu_m$を逆順$\mu_m,\cdots,\mu_1$に並べ換える際に$\sum_{p=1}^{m-1}p=\frac{1}{2}m(m-1)$回の手順を要し、次いでこれら$m$個の添え字をまるごと右側へ移動させるのに$m(k-m)$回の手順を要するため、合計で$\frac{1}{2}m(m-1)+m(k-m)=\frac{1}{2}m(2k-m-1)$回の手順を経るからである。したがって、この場合は、 \begin{align*} \gamma_{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l} &=(-1)^{\frac{1}{2}m(2k-m-1)}\gamma_{\mu_{m+1}\cdots \mu_{k} \mu_{m}\mu_{m-1}\cdots \mu_{1}}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l}\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}m(2k-m-1)}\gamma_{\mu_{m+1}}\cdots\gamma_{\mu_{k}}\gamma_{\mu_{m}}\gamma_{\mu_{m-1}}\cdots\gamma_{\mu_{1}}\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_l}\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}m(2k-m-1)}\eta_{\mu_1 \nu_1}\eta_{\mu_2 \nu_2}\cdots\eta_{\mu_m \nu_m} \gamma_{\mu_{m+1}}\cdots\gamma_{\mu_{k}}\gamma_{\nu_{m+1}}\cdots\gamma_{\nu_l} \end{align*} と表わせる。

　この結果と、添え字$\mu_1,\mu_2,\cdots \mu_k$および$\nu_1,\nu_2,\cdots,\nu_l$の反対称性より、和の$m$項目の全体は \begin{equation}\label{anti *} \begin{split} \gamma_{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l} &=(-1)^{\frac{1}{2}m(2k-m-1)}\frac{1}{m!} \sum_{\substack{\sigma\in S_k \\ \pi\in S_l}} \sgn(\sigma)\sgn(\pi)\eta_{\mu_{\sigma_1} \nu_{\pi_1}}\eta_{\mu_{\sigma_2} \nu_{\pi_2}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_m} \nu_{\pi_m}} \gamma_{\mu_{\sigma_{m+1}}}\cdots\gamma_{\mu_{\sigma_{k}}}\gamma_{\nu_{\pi_{m+1}}}\cdots\gamma_{\nu_{\pi_l}} \end{split} \end{equation} となる。$S_k$は$\qty{1,2,\cdots, k}$の置換全体がなす集合である。$S_l$についても同様である。右辺の係数$\frac{1}{m!}$は、和が、$\eta_{\mu_{\sigma_1} \nu_{\pi_1}}\eta_{\mu_{\sigma_2} \nu_{\pi_2}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_m} \nu_{\pi_m}}$を並び替えただけの項を$m!$重に重複して数えていることを相殺するためにある。

　ここで、\eqref{anti *}式右辺の積$\gamma_{\mu_{\sigma_{m+1}}}\cdots\gamma_{\mu_{\sigma_{k}}}\gamma_{\nu_{\pi_{m+1}}}\cdots\gamma_{\nu_{\pi_l}}$を反対称積$\gamma_{\mu_{\sigma_{m+1}}\cdots \mu_{\sigma_{k}}\nu_{\pi_{m+1}}\cdots \nu_{\pi_l}}$で置き換えたとしよう。このとき、$\pi$を固定して$\sigma$についての和を考えると、$\gamma_{\mu_{\sigma_{m+1}}\cdots \mu_{\sigma_{k}}\nu_{\pi_{m+1}}\cdots \nu_{\pi_l}}$における添え字$(\mu_{\sigma_{m+1}},\cdots, \mu_{\sigma_k})$は既に反対称化されているから、$(k-m)!$重に重複して数えることになる。したがって、$\sigma$についての和からは係数$\frac{1}{(k-m)!}$が出てくる。同様の理由で、$\pi$についての和からは係数$\frac{1}{(l-m)!}$が出てくる。よって、\eqref{anti *}式は、 \begin{align*} \gamma_{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l} &=(-1)^{\frac{1}{2}m(2k-m-1)}
\frac{1}{(k-m)!}\frac{1}{(l-m)!}\frac{1}{m!}
\sum_{\substack{\sigma\in S_k \\ \pi\in S_l}}
\sgn(\sigma)\sgn(\pi)\eta_{\mu_{\sigma_1} \nu_{\pi_1}}\eta_{\mu_{\sigma_2} \nu_{\pi_2}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_m} \nu_{\pi_m}}
\gamma_{\mu_{\sigma_{m+1}}\cdots \mu_{\sigma_{k}}\nu_{\pi_{m+1}}\cdots \nu_{\pi_l}}\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}m(2k-m-1)}
\frac{k!}{(k-m)!}\frac{l!}{(l-m)!}\frac{1}{m!}\frac{1}{k!}\frac{1}{l!}\sum_{\substack{\sigma\in S_k \\ \pi\in S_l}}\sgn(\sigma)\sgn(\pi)\eta_{\mu_{\sigma_1} \nu_{\pi_1}}\eta_{\mu_{\sigma_2} \nu_{\pi_2}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_m} \nu_{\pi_m}}
\gamma_{\mu_{\sigma_{m+1}}\cdots \mu_{\sigma_{k}}\nu_{\pi_{m+1}}\cdots \nu_{\pi_l}} \end{align*} と書き換えられる。

　最後に、反対称化の記号を用いて、

　$m$についての和は、添え字$(\mu_1, \mu_2,\cdots, \mu_k)$と$(\nu_1, \nu_2,\cdots, \nu_l)$でペアを作れる限り続くから、和の上限は$k,l$のうち小さいほう、即ち、$\min(k,l)$である。

　以上より、\eqref{gamma anti anti product}式が示される。
<証明終>

ガンマ行列の積の反対称積による展開(単純積の展開公式)

　今度はガンマ行列のいくつかの積を、反対称積によって展開することを考えよう。

具体的な例

例1 $\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}$

　これは、反対称積の展開公式\eqref{gamma anti anti product}を繰り返し用いて以下のようにすればよい: \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho} &=\qty(\gamma_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu})\gamma_{\rho}\\ &=\gamma_{\mu\nu}\gamma_{\rho}+\eta_{\mu\nu}\gamma_{\rho}\\ &=\gamma_{\mu\nu\rho}-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu}+\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu}+\eta_{\mu\nu}\gamma_{\rho}\\ &=\gamma_{\mu\nu\rho}+\eta_{\mu\nu}\gamma_{\rho}-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu}+\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu}. \end{align*}

例2 $\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda}$

　先ほどの結果を流用して、 \begin{align*} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda} &=\qty(\gamma_{\mu\nu\rho}-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu}+\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu}+\eta_{\mu\nu}\gamma_{\rho})\gamma_{\lambda}\\ &=\gamma_{\mu\nu\rho}\gamma_{\lambda}-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}+\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu}\gamma_{\lambda}+\eta_{\mu\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\lambda}\\
&=\gamma_{\mu\nu\rho\lambda}+\eta_{\mu\lambda}\gamma_{\nu\rho}-\eta_{\nu\lambda}\gamma_{\mu\rho}+\eta_{\rho\lambda}\gamma_{\mu\nu}\\ &\qquad-\eta_{\mu\rho}\qty(\gamma_{\nu\lambda}+\eta_{\nu\lambda})+\eta_{\nu\rho}\qty(\gamma_{\mu\lambda}+\eta_{\mu\lambda})+\eta_{\mu\nu}\qty(\gamma_{\rho\lambda}+\eta_{\rho\lambda})\\ &=\gamma_{\mu\nu\rho\lambda}\\ &\hspace{20pt}+\eta_{\mu\nu}\gamma_{\rho\lambda}-\eta_{\mu\rho}\gamma_{\nu\lambda}+\eta_{\mu\lambda}\gamma_{\nu\rho} +\eta_{\nu\rho}\gamma_{\mu\lambda}-\eta_{\nu\lambda}\gamma_{\mu\rho} +\eta_{\rho\lambda}\gamma_{\mu\nu}\\ &\hspace{30pt}+\eta_{\mu\nu}\eta_{\rho\lambda}-\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\lambda}+\eta_{\nu\rho}\eta_{\mu\lambda} \end{align*} となる。

一般の場合

　前項において、掛けるガンマ行列を1つずつ増やしていき、その様子を観察すれば、以下の公式が得られる。これを、単純積の展開公式と呼ぼう: \begin{equation}\label{gamma product to anti} \begin{split} \gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}\cdots\gamma_{\mu_k} =\sum_{m=0}^{\floor{\frac{k}{2}}}\frac{1}{(k-2m)!}\sum_{\sigma\in F_{k,m}}\sgn(\sigma)\eta_{\mu_{\sigma_1}\mu_{\sigma_2}}\eta_{\mu_{\sigma_3}\mu_{\sigma_4}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_{2m-1}}\mu_{\sigma_{2m}}}\gamma_{\mu_{\sigma_{2m+1}}\cdots \mu_{\sigma_k}}. \end{split} \end{equation}

ただし、$F_{k,m}$とは$n$次対称群$S_k$の部分集合で、 \begin{align*} F_{k,m} =\begin{cases}
\qty{\sigma\in S_k | \sigma_{2p-1}<\sigma_{2p}\quad (p=1,2,\cdots, m),\quad\sigma_{1}<\sigma_{3}<\cdots<\sigma_{2m-1}} &\quad(\text{$m\geq 1$のとき})\\ \qty{\sigma\in S_k} &\quad(\text{$m=0$のとき}) \end{cases} \end{align*} である。つまり、$F_{k,m}$は、$1,2,\cdots, n$の置換全体がなす集合の中で、$\sigma_1<\sigma_2,\ \sigma_3<\sigma_4,\cdots,\sigma_{2m-1}<\sigma_{2m}$として\eqref{gamma product to anti}式内の「$\eta$内における添え字のペアの順番を制限」し、$\sigma_1<\sigma_3<\cdots<\sigma_{2m-1}$として「$\eta$の添え字における奇数番目の単調増加性を確保」した集合である。$\frac{1}{(k-2m)!}$の因子は、既に反対称な$\gamma_{\mu_{\sigma_{2m+1}}\cdots \mu_{\sigma_k}}$を置換$\sigma$についての和が重複して$(k-2m)!$重に数えているのを相殺するためにある。

反対称積の双対(双対公式)

　ガンマ行列の$k$階の反対称積は、以下の公式によって$n-k$階の反対称積で書き換えることができる。これらの公式を双対公式と呼ぼう:
\begin{equation} \label{gammamat dual formula1} \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k} =\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}\mu_{k+1}\cdots \mu_{n}}\gamma_*\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}} \end{equation} \begin{equation} \label{gammamat dual formula2} \gamma^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k}
=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}\mu_{k+1}\cdots \mu_{n}}\gamma_*\gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}} \end{equation}

<証明>
　最初に$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k}$の双対公式を求める。まず、$\gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n}\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}$という量を計算しておこう。ただし、$\mu_{k+1}\cdots \mu_n$は、そのどれもが$\mu_1,\cdots, \mu_k$のいずれとも等しくないという範囲で和を取っているとする。 これは、 \begin{align*} \gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n}\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}} &=(-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}\gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n}\gamma^{\mu_{n}\mu_{n-1}\cdots \mu_{k+1}}\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}\perm{n-k}{n-k}\mathbf{1}_N\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}(n-k)!\mathbf{1}_N \end{align*} と計算される。

　これを用いると、 \begin{align*} \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k} =\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k}\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}\gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n}\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n} \end{align*} と書ける。ここで、右辺の$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n}$に対して、反対称積の展開公式\eqref{gamma anti anti product}を適用する。ただし、今は$\mu_1,\cdots,\mu_k,\mu_{k+1},\cdots, \mu_n$がすべて異なるから、縮約を取らない項($k=0$の項)のみが残る。したがって、 \begin{align*} \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k} &=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_n}\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n}\\ &=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_n}\underbrace{\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}}_{=i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}\gamma_*}\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n}\\ &=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_n}i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}\gamma_*\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_n} \end{align*} となる。この最右辺の段階では、$\mu_{k+1}\cdots \mu_n$についての和を制限する必要はなく、$\mu_{k+1}\cdots \mu_n$の取る値は$1,2,\cdots, n$としている。なぜなら、レビチビタ記号の反対称性より、$\mu_{k+1}\cdots \mu_n$のいずれかが$\mu_{1}\cdots \mu_k$のいずれかと等しくなるような項は0となるからである。

　位相因子について、 \begin{align*} (-1)^{\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)}i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}=(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}} \end{align*} と変形しておけば、\eqref{gammamat dual formula1}式: \begin{align*} \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k} =\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}\mu_{k+1}\cdots \mu_{n}}\gamma_*\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}} \end{align*} が示される。

　$\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k}$の双対公式は、\eqref{gammamat dual formula1}式の添え字を計量$\eta$によって上げることで得られる: \begin{align*} \gamma^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_k} &=\eta^{\mu_1\nu_1}\eta^{\mu_2\nu_2}\cdots\eta^{\mu_k\nu_k}\gamma_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_k}\\ &=\eta^{\mu_1\nu_1}\eta^{\mu_2\nu_2}\cdots\eta^{\mu_k\nu_k}\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_{k}\nu_{k+1}\cdots \nu_{n}}\gamma_*\gamma^{\nu_{k+1}\nu_{k+2}\cdots \nu_{n}}\\ &=\eta^{\mu_1\nu_1}\eta^{\mu_2\nu_2}\cdots\eta^{\mu_k\nu_k}\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_{k}\nu_{k+1}\cdots \nu_{n}}\gamma_*\delta^{\nu_{k+1}}_{\nu’_{k+1}}\delta^{\nu_{k+2}}_{\nu’_{k+2}}\cdots\delta^{\nu_{n}}_{\nu’_{n}}\gamma^{\nu’_{k+1}\nu’_{k+2}\cdots \nu’_{n}}\\
&\quad\qty(\text{$\delta^{\nu}_{\mu}=\eta^{\nu\rho}\eta_{\rho\mu}$を使う。})\\ &=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\underbrace{\eta^{\mu_1\nu_1}\eta^{\mu_2\nu_2}\cdots\eta^{\mu_k\nu_k}\eta^{\mu_{k+1}\nu_{k+1}}\eta^{\mu_{k+2}\nu_{k+2}}\cdots\eta^{\mu_n\nu_n}\varepsilon_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_{k}\nu_{k+1}\cdots \nu_{n}}}_{=\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}\mu_{k+1}\cdots \mu_{n}}}\gamma_*\underbrace{\eta_{\mu_{k+1}\nu’_{k+1}}\eta_{\mu_{k+2}\nu’_{k+2}}\cdots\eta_{\mu_n\nu’_n}\gamma^{\nu’_{k+1}\nu’_{k+2}\cdots \nu’_{n}}}_{=\gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}}\\
&=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}\mu_{k+1}\cdots \mu_{n}}\gamma_*\gamma_{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}. \end{align*} <証明終>

$\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma^{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$の計算(挟み込み公式)

　以下の公式は、例えばフィルツ変換の際に重宝する。これを挟み込み公式と呼ぼう: \begin{align} \gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma^{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}=(-1)^{[\frac{k}{2}]}(-1)^{kl}k!d_{kl}\gamma^{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}\label{kugo formula} \end{align} ただし、$d_{kl}$は、多項式$(1+x)^{n-l}(1-x)^{l}$における$x^k$の係数であり、それは以下のように与えられる: \begin{align*} d_{kl}=\sum_{m=0}^k \comb{n-l}{m}\cdot\comb{l}{k-m}(-1)^{k-m}. \end{align*}

<証明>
　まず、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$の添え字$(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k)$を逆順$(\mu_k,\mu_{k-1},\cdots ,\mu_1)$に並べ替える。この際、$\sum_{l=1}^{k-1}l=\frac{1}{2}k(k-1)$回の手順を要するから、$(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}=(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}$の符号が出てくる。よって、 \begin{align*} \gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma^{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} &=(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma^{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}\gamma_{\mu_k\mu_{k-1}\cdots \mu_1}\\ &=(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_k}\gamma^{\nu_1}\gamma^{\nu_2}\cdots\gamma^{\nu_l}\gamma_{\mu_k}\gamma_{\mu_{k-1}}\cdots\gamma_{\mu_1}\\ &\quad(\text{$\mu_1,\cdots,\mu_k$はすべて異なる。$\nu_1,\cdots,\nu_l$もすべて異なる。}) \end{align*} である。

　この状態から、右側の$k$個の$\gamma_{\mu_k}\gamma_{\mu_{k-1}}\cdots\gamma_{\mu_1}$を、順次$\gamma^{\nu_1}\gamma^{\nu_2}\cdots\gamma^{\nu_l}$飛び越えさせて左側の$\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_k}$と縮約させていく。まず仮に、添え字$\mu_1,\cdots,\mu_k$が$\nu_1,\cdots,\nu_l$と一切一致していないとすると、その場合に「飛び越え」によって生じる符号は$(-1)^{kl}$である。そこで、あらかじめこの符号を出しておく。

　その上で、飛び越えを考えるとき、実際に$\mu_1,\cdots,\mu_k$のうちのいくつかが$\nu_1,\cdots,\nu_l$のどれかに一致する場合は、一致する数だけ追加の負号$-1$が生じる。(一致しない場合は符号は生じない。)この様子から、「飛び越え」が終わったときに生じる係数は、以下の$n$個の因数から成る多項式を展開した際の$x^k$の係数$d_{kl}$の$k!$倍に等しいことが分かる: \begin{align} \overbrace{(1-x)(1-x)\cdots(1-x)}^{\text{$l$個}}\overbrace{(1+x)(1+x)\cdots(1+x)}^{\text{$n-l$個}}\label{polynimial} \end{align} なぜなら、ある1つの添え字の列$(\mu_1,\cdots,\mu_k)$を決めたとき、「一致」する数だけ$(1-x)$を選び取って$-x$を取り出し、「一致」しない数だけ$(1+x)$を選び取って$+x$を取り出し、選ばれなかった因子については$1$を取り出して掛け合わせると、その$x^k$の係数は、「飛び越え」が終わったときに生じる符号に等しいからである。添え字$\mu_1,\cdots,\mu_k$については和が取られているから、このような因子の選び取り方の寄与が全てが足し合わされる。このとき、ある一つの添え字の列を並べ替えただけのもの($k!$個)はどれも、多項式からの因数の選び方が同じことに注意すると、結局、「飛び越え」を終えたときの係数が$d_{kl}\times k!$に等しいことが分かる。こうして、\eqref{kugo formula}式が得られる。

　$d_{kl}$は、 \begin{align*} (1+x)^{n-l}(1-x)^l =\sum_{p=0}^{n-l}\sum_{q=0}^{l}\comb{n-l}{p}\cdot\comb{l}{q}(-1)^{q}x^{p+q} \end{align*} における$\displaystyle\sum_{p=0}^{n-l}\sum_{q=0}^{l}\comb{n-l}{p}\cdot\comb{l}{q}(-1)^{q}$の和を$p+q=k$に限ったものであり、\begin{align*} d_{kl}=\sum_{m=0}^{k}\comb{n-l}{m}\cdot\comb{l}{k-m}(-1)^{k-m} \end{align*} と表わされる。
<証明終>

1. 位相因子の計算を参照するがよい。

参考文献

1. 藤井保憲, 超重力理論入門
2. 谷井義彰, 臨時別冊・数理科学SGCライブラリ-82 超重力理論　超弦理論における役割, サイエンス社, 2011
3. 九後汰一郎, 新物理学シリーズ23 ゲージ場の量子論I, 培風館, 2011
4. 付録 B (18)式の簡単な証明 https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~taichiro.kugo/mytxt/proof-B18.pdf 九後汰一郎のページ