注意: 本ページでは、ガンマ行列のサイズ$N$は最小の$2^{\floor{\frac{n}{2}}}$とする。($n$は空間の次元である。)
ガンマ行列の定義式: \begin{align*} \qty{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}}=2\eta_{\mu\nu}\quad \qty( \eta_{\mu\nu} =\diag(\underbrace{+1,+1,\cdots,+1}_{\text{$s$個}},\underbrace{-1,-1,\cdots,-1}_{\text{$t$個}})\quad(s+t=n)) \end{align*} の複素共役をとると、$\pm \qty(\gamma_{\mu})^{*}$もまた、$\gamma_{\mu}$と同じ反交換関係をみたすことが分かる。このとき、パウリの基本定理により、$\pm \qty(\gamma_{\mu})^{*}$と$\gamma_{\mu}$は正則行列$B_{\rho}$を用いて、 \begin{align} B_{\rho}^{-1}\gamma_{\mu}B_{\rho} =\rho\qty(\gamma_{\mu})^{*}\quad\qty(\text{ただし、$\rho=\pm 1$})\label{B def} \end{align} と、相似変換で結びつけられる。この行列$B_{\rho}$をB行列と呼ぼう。以下、B行列の性質についてまとめる。
奇数次元における符号$\rho$の一意性
B行列の符号$\rho$は、次元$n$が偶数の場合は明らかに任意だが、次元$n$が奇数の場合は一意に$\rho=(-1)^{\frac{s-t-1}{2}}$と定まる。これは、奇数次元のガンマ行列の構成法を思い出せば納得できる。
ガンマ行列のサイズを最小にとるとき、奇数$2r+1$次元のガンマ行列$\gamma_{\mu}^{(2r+1)}\ (\mu=1,2,\cdots, 2r+1)$は、$2r$次元のガンマ行列$\gamma_{\mu}^{(2r)}\ (\mu=1,2,\cdots, 2r)$と、$2r$次元のカイラリティ行列$\gamma_{*}^{(2r)}$を合わせた$2r+1$個の行列から構成できるのだった。即ち、$2r+1$次元においては、$2r$次元カイラリティ行列$\gamma_{*}^{(2r)}$に対しても\eqref{B def}式が成り立つ必要がある。今、$n=2r+1$次元を考え、$\gamma_{*}^{(n-1)}$を$B_{\rho}^{-1},B_{\rho}$で挟むと、
\begin{align*}
B_{\rho}^{-1}\gamma_{*}^{(n-1)}A_{\rho}
&=B_{\rho}^{-1}(-i)^{\frac{s-t-1}{2}}\gamma_{1}^{(n-1)}\gamma_{2}^{(n-1)}\cdots\gamma_{n-1}^{(n-1)}B_{\rho}\quad(\text{ただし、$s+t-1=n$})\\
&=(-i)^{\frac{s-t-1}{2}}\cancel{\rho^{n-1}}\qty(\gamma_{1}^{(n-1)})^{*}\qty(\gamma_{2}^{(n-1)})^{*}\cdots\qty(\gamma_{n-1}^{(n-1)})^{*}\\
&=(-1)^{\frac{s-t-1}{2}}\underbrace{(+i)^{\frac{s-t-1}{2}}\qty(\gamma_{1}^{(n-1)})^{*}\qty(\gamma_{2}^{(n-1)})^{*}\cdots\qty(\gamma_{n-1}^{(n-1)})^{*}}_{=\qty(\gamma_*^{(n-1)})^{*}}\\
&=(-1)^{\frac{s-t-1}{2}}\qty(\gamma_*^{(n-1)})^{*}
\end{align*}
だから、$\rho=(-1)^{\frac{s-t-1}{2}}$でなければならない。
B行列の一般的な性質
B行列は定数倍を除いて一意
B行列は、定数倍を除いて一意に定まる。つまり、
\begin{align}
B_{\rho}^{-1}\gamma_{\mu}B_{\rho}
=\rho\qty(\gamma_{\mu})^{*},\quad {B’_{\rho}}^{-1}\gamma_{\mu}B’_{\rho}
=\rho\qty(\gamma_{\mu})^{*}\label{B var}
\end{align}
をみたす2つの行列$B_{\rho}, B’_{\rho}$があったとすると、これら2つの間には
\begin{align}
B’_{\rho}=\alpha B_{\rho}\ \qty(\alpha\in\mathbb{C})\label{B arbitrarity}
\end{align}
なる関係がある。
<証明>
\eqref{B var}の左式と右式を組み合わせて、
\begin{align*}
B_{\rho}^{-1}\gamma_{\mu}B_{\rho}
&=\rho\qty(\gamma_{\mu})^{*}\\
B_{\rho}^{-1}\gamma_{\mu}B_{\rho}
&=\underbrace{\rho^2}_{=1}{B’_{\rho}}^{-1}\gamma_{\mu}B’_{\rho}\\
\gamma_{\mu}B’_{\rho}B_{\rho}^{-1}
&=B’_{\rho}B_{\rho}^{-1}\gamma_{\mu}
\end{align*}
を得る。つまり、$B’_{\rho}B_{\rho}^{-1}$はすべての$\gamma_{\mu}$と可換である。今、ガンマ行列は最小サイズであるとしているから、これは、
\begin{align*}
B’_{\rho}B_{\rho}^{-1}
\propto\mathbf{1}
\Longleftrightarrow
B’_{\rho}
=\alpha B_{\rho}\quad(\alpha\in\mathbb{C})
\end{align*}
を意味する。
<証明終>
この定数$\alpha$は自由に選べる。それを利用して、本ブログでは、$\abs{\det B_{\rho}}=1$となるようにB行列を規格化する。
B行列はA行列とC行列の積
B行列は、ガンマ行列のエルミート共役とA行列で導入したA行列と、ガンマ行列の転置とC行列(荷電共役行列)で導入したC行列の積により、
\begin{align}
B_{\rho}\propto C_{\kappa}\qty(A_{\lambda}^{-1})^{t}
\quad\text{または}\quad
B_{\rho}\propto A_{\lambda}\qty(C_{\kappa}^{-1})^{\dag}\quad(\text{ただし、$\rho=\kappa\lambda$})\label{B AC CA}
\end{align}
と表現できる。
\eqref{B AC CA}の左側の式を示してみよう。A行列の定義式の転置を取り、さらにC行列の定義を用いると、
\begin{align}
A_{\lambda}^{-1}\gamma_{\mu}A_{\lambda}&=\lambda\gamma_{\mu}^{\dag}\notag\\
A_{\lambda}^{t}\gamma_{\mu}^{t}\qty(A_{\lambda}^{-1})^{t}&=\lambda\gamma_{\mu}^{*}\notag\\
A_{\lambda}^{t}\qty(\kappa C_{\kappa}^{-1}\gamma_{\mu}C_{\kappa})\qty(A_{\lambda}^{-1})^{t}&=\lambda\gamma_{\mu}^{*}\notag\\
\qty(C_{\kappa}\qty(A_{\lambda}^{-1})^{t})^{-1}\gamma_{\mu}\qty(C_{\kappa}\qty(A_{\lambda}^{-1})^{t})&=\kappa\lambda\gamma_{\mu}^{*}\label{B CA}
\end{align}
となる。前項で示したとおり、B行列は定数倍を除いて一意に定まるのだったから、\eqref{B CA}式より、
\begin{align*}
B_{\rho}\propto C_{\kappa}\qty(A_{\lambda}^{-1})^{t}
\quad(\text{ただし、$\rho=\kappa\lambda$})
\end{align*}
であることが分かる。\eqref{B AC CA}の右側の式も同様にして示せる。
B行列の変換
ガンマ行列を、
\begin{align}
\gamma_{\mu}\to \gamma_{\mu}’
=M^{-1}\gamma_{\mu}M\label{B gamma transf}
\end{align}
と変換するとき、B行列は、
\begin{align}
B_{\rho}\to B’_{\rho}
=M^{-1}B_{\rho}M^{*}\label{B transf}
\end{align}
と変換される。
<証明>
\eqref{B def}式を、\eqref{B gamma transf}式を用いて$\gamma’_{\mu}$で表すと、
\begin{align*}
B_{\rho}^{-1}\qty(M\gamma’_{\mu}M^{-1})B_{\rho}
&=\rho\qty(M\gamma’_{\mu}M^{-1})^{*}\\
\qty(M^{-1}B_{\rho}M^{*})^{-1}\gamma’_{\mu}\qty(M^{-1}B_{\rho}M^{*})
&=\rho\qty(\gamma’_{\mu})^{*}
\end{align*}
である。これは、B行列が$B_{\rho}\to B’_{\rho}=M^{-1}B_{\rho}M^{*}$と変換されることを意味する。
<証明終>
B行列の複素共役はその逆行列に比例
B行列の複素共役はその逆行列に比例する。比例係数は実数である:
\begin{align}
B_{\rho}B_{\rho}^{*}=c \mathbf{1}.\quad(\text{ただし、$c$は実数})\label{B trans}
\end{align}
<証明>
\eqref{B def}式の複素共役を取り、再び\eqref{B def}式を用いると、
\begin{align*}
\qty(B_{\rho}^{-1})^{*}\qty(\gamma_{\mu})^{*}B_{\rho}^{*}
&=\rho\gamma_{\mu}\\
\qty(B_{\rho}^{-1})^{*}\qty(\rho B_{\rho}^{-1}\gamma_{\mu}B_{\rho})B_{\rho}^{*}
&=\rho\gamma_{\mu}\\
\gamma_{\mu}B_{\rho}B_{\rho}^{*}
&=B_{\rho}B_{\rho}^{*}\gamma_{\mu}
\end{align*}
である。つまり、$B_{\rho}B_{\rho}^{*}$はすべての$\gamma_{\mu}$と可換だから、
\begin{align*}
B_{\rho}B_{\rho}^{*}\propto\mathbf{1}
\end{align*}
である。比例係数を$c$と置けば、
\begin{align}
B_{\rho}B_{\rho}^{*}=c\mathbf{1}\label{BB*}
\end{align}
である。このとき、$B_{\rho}^{*}=cB_{\rho}^{-1}$より、
\begin{align}
B_{\rho}^{*}B_{\rho}=cB_{\rho}^{-1}B_{\rho}=c\mathbf{1}\label{BB*2}
\end{align}
でもある。
\eqref{BB*}式両辺の複素共役を取ると、
\begin{align*}
B_{\rho}^{*}B_{\rho}=c^*\mathbf{1}
\end{align*}
だから、\eqref{BB*2}式と合わせて、$c=c^*$、つまり、$c$は実数であることが分かる。
<証明終>
本ブログでは、$\abs{\det B_{\rho}}=1$となるようにB行列を規格化するのだった。これは、比例係数$c$を符号$\iota=\pm 1$とすることに対応する: \begin{align} B_{\rho}B_{\rho}^{*}=\iota\mathbf{1}\quad(\iota=\pm 1)\label{B comp} \end{align}
符号$\iota$は$s-t$と符号$\rho$により定まる
符号$\iota$は$s-t$と符号$\rho$を用いて以下のように表される:
\begin{align}
\label{iota}
\iota=(-1)^{\floor{\frac{1}{2}\floor{\frac{s-t}{2}}}}\rho^{\floor{\frac{s-t}{2}}}
\quad
\rho=
\begin{cases}
\pm 1 &\quad(\text{$n=s+t$が偶数のとき})\\
(-1)^{\frac{s-t-1}{2}} &\quad(\text{$n=s+t$が奇数のとき}).
\end{cases}
\end{align}
<証明>
まず、偶数$(n=2r)$次元の場合を考える。そのために、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho}$なる行列を考える。この行列とその複素共役の積を取ると(以下、添え字$\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k$に関する和は取らない。)、
\begin{align*}
\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})^{*}
&=\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})\qty(\rho^k B_{\rho}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}^*)^*\notag\\
&=\rho^k \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\underbrace{B_{\rho}B_{\rho}^*}_{=\iota\mathbf{1}}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\notag\\
&=\iota\rho^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_{\mu_k\mu_{k-1}\cdots\mu_1}\notag\\
&=\iota\rho^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}(-1)^{n_t}\mathbf{1}
\end{align*}
となる。ただし、$n_t$とは、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$を構成する$k$個のガンマ行列の中に、$\qty(\gamma_{\mu})^2=-\mathbf{1}$となるものがいくつ含まれているかを表す数である。$\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})^{*}$は$+\mathbf{1}$か$-\mathbf{1}$のどちらかである。以下、$+\mathbf{1}$となるものを考え、その総数を数える。それは、
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}\frac{1}{2}\qty(1+\iota\rho^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}(-1)^{n_t})\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}\label{B sum sym}
\end{align}
と表わされる。$\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}$は$k,n_t$を固定したときの$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$の数、$\frac{1}{2}\qty(1+\iota\rho^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}(-1)^{n_t})$は$\iota\rho^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}(-1)^{n_t}=+1$の場合のみを拾い上げる射影演算子である。
\eqref{B sum sym}式の和を計算しよう。まず、第1項は$\sum_{k=0}^n\sum_{n_t=0}^{k}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}=2^n$より、$\frac{1}{2}2^n$と計算できる。第2項を計算するために、$(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}$を以下のように変形する:
\begin{align*}
(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}
=(-1)^{\frac{1}{2}k^2}(-1)^{\frac{1}{2}k}
=\frac{1}{2}\qty[(1+i)+(1-i)(-1)^k]\underbrace{(-1)^{\frac{1}{2}k}}_{\mathclap{=(-i)^k}}
=\frac{1}{2}\qty[(1+i)(-i)^k+(1-i)i^k].
\end{align*}
すると、\eqref{B sum sym}式は、
\begin{align*}
&\sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}\frac{1}{2}\qty(1+\iota\rho^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}(-1)^{n_t})\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}\\
&=\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}\iota\qty[(1+i)\sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}\rho^k(-i)^k(-1)^{n_t}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}+(1-i)\sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}\rho^k i^k(-1)^{n_t}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}]
\end{align*}
と表される。さらに、
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}x^k(-1)^{n_t}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}=(1-x)^{t}(1+x)^{n-t}\label{expand}
\end{align}
であることを用いると、
\begin{align*}
&\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}\iota\qty[(1+i)\sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}\rho^k(-i)^k(-1)^{n_t}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}+(1-i)\sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}\rho^k i^k(-1)^{n_t}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}]\\
&=\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}\iota\qty[(1+i)(1+i\rho)^{t}(1-i\rho)^{n-t}+(1-i)(1-i\rho)^{t}(1+i\rho)^{n-t}]
\end{align*}
となる。
以下、$(1+i)(1+i\rho)^{t}(1-i\rho)^{n-t}+(1-i)(1-i\rho)^{t}(1+i\rho)^{n-t}$の部分の計算を$\rho=\pm 1$の値で場合分けして進めよう。
- $\rho=+1$のとき
\begin{align*} (1+i)(1+i)^{t}(1-i)^{n-t}+(1-i)(1-i)^{t}(1+i)^{n-t} &=(1+i)^{t+1}(1-i)^{n-t}+(1-i)^{t+1}(1+i)^{n-t}\\ &=\sqrt{2}^{t+1}e^{+i\frac{\pi}{4}(t+1)}\sqrt{2}^{n-t}e^{-i\frac{\pi}{4}(n-t)}+\sqrt{2}^{t+1}e^{-i\frac{\pi}{4}(t+1)}\sqrt{2}^{n-t}e^{+i\frac{\pi}{4}(n-t)}\\ &\qty(\text{$n=s+t$を用いる})\\ &=\sqrt{2}^{n+1}\qty[e^{-i\frac{\pi}{4}(s-t-1)}+e^{+i\frac{\pi}{4}(s-t-1)}]\\ &=\sqrt{2}2^{\frac{n}{2}}2\cos\qty[\frac{\pi}{4}(s-t-1)]. \end{align*} - $\rho=-1$のとき
\begin{align*} (1+i)(1-i)^{t}(1+i)^{n-t}+(1-i)(1+i)^{t}(1-i)^{n-t} &=(1+1)(1-i)^{t-1}(1+i)^{n-t}+(1+1)(1+i)^{t-1}(1-i)^{n-t}\\ &=2\sqrt{2}^{t-1}e^{-i\frac{\pi}{4}(t-1)}\sqrt{2}^{n-t}e^{+i\frac{\pi}{4}(n-t)}+2\sqrt{2}^{t-1}e^{+i\frac{\pi}{4}(t-1)}\sqrt{2}^{n-t} e^{-i\frac{\pi}{4}(n-t)}\\ &=\sqrt{2}^{n-1}\qty[e^{+i\frac{\pi}{4}(s-t+1)}+e^{-i\frac{\pi}{4}(s-t+1)}]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}2^{\frac{n}{2}}2\cos\qty[\frac{\pi}{4}(s-t+1)]\\ &=\sqrt{2}2^{\frac{n}{2}}\cos\qty[\frac{\pi}{4}(s-t+1)]. \end{align*}
まとめると、 \begin{align*} (1+i)(1+i\rho)^{t}(1-i\rho)^{n-t}+(1-i)(1-i\rho)^{t}(1+i\rho)^{n-t} =2^{\frac{n}{2}}\sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}(s-t+1)] \end{align*} である。さらに、$\sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(s-t-\rho)]$の部分は、 \begin{align*} \sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(s-t-\rho)]=(-1)^{\floor{\frac{s-t}{4}}}\rho^{\frac{s-t}{2}} \end{align*} とも書けることが容易に確かめられる。
したがって、 \begin{align} \sum_{k=0}^{n}\sum_{n_t=0}^{k}\frac{1}{2}\qty(1+\iota\rho^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}(-1)^{n_t})\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t} =\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\iota(-1)^{\floor{\frac{s-t}{4}}}\rho^{\frac{s-t}{2}}\label{B sum sym 2} \end{align} である。\eqref{B sum sym 2}式は、$\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})^{*}=+\mathbf{1}$となる$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho}$の数が$\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\qty(2^{\frac{n}{2}}+1)$か$\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\qty(2^{\frac{n}{2}}-1)$であることを意味している。
実際は、この数は$\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\qty(2^{\frac{n}{2}}+1)$と定まる。それは以下のようにして理解できる。
\eqref{B sum sym 2}式は、ガンマ行列の転置とC行列(荷電共役行列)で符号$\tau$を求めたときの表式(??)に酷似している。その式を再掲すると、 \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2}\qty(1+\tau\kappa^k(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)})\comb{n}{k} &=\frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\tau(-1)^{\floor{\frac{n}{4}}}\kappa^{\frac{n}{2}} \end{align*} である。これは、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa}$のうち、対称行列であるものの総数を表している。この式において、$n-\kappa \to s-t-\rho,\quad \tau \to \iota$なる置き換えをしたものが、本ページの\eqref{B sum sym 2}式である。この置き換えは、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa}$から$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho}$への1対1の対応づけとみなせる。これにより、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa}$のうち対称行列であるものが、$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho}$のうち$\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}B_{\rho})^{*}=+\mathbf{1}$となるものに対応づけられ、両者の総数は等しい。$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}C_{\kappa}$のうち対称行列であるものの総数は、$2^{\frac{n}{2}}\times 2^{\frac{n}{2}}$行列のうち対称なものの数$\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}(2^{\frac{n}{2}}+1)$に等しいのだったから、以上の議論より、 \begin{align} \frac{1}{2}2^n+\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}\iota(-1)^{\floor{\frac{s-t}{4}}}\rho^{\frac{s-t}{2}} =\frac{1}{2}2^{\frac{n}{2}}(2^{\frac{n}{2}}+1)\label{B sym to C sym} \end{align} が言える。
\eqref{B sym to C sym}式を$\iota$について解けば、 \begin{align*} \iota=(-1)^{\floor{\frac{s-t}{4}}}\rho^{\frac{s-t}{2}} \end{align*} が得られる。
次に、奇数($n=2r+1$)次元の場合を考える。奇数次元の場合は、$\rho=(-1)^{\frac{s-t-1}{2}}$であることを念頭に置けば、偶数($2r$)次元の場合とまったく同様の議論により、$\iota$が以下のように求まる: \begin{align*} \iota=\sqrt{2}\cos\qty[\frac{\pi}{4}\qty(s-t-1-\rho)] =(-1)^{\floor{\frac{s-t-1}{4}}}\rho^{\frac{s-t-1}{2}} \end{align*} 以上、偶数次元と奇数次元の場合をまとめると、$\iota$は以下のように与えられる: \begin{align*} \iota=(-1)^{\floor{\frac{1}{2}\floor{\frac{s-t}{2}}}}\rho^{\floor{\frac{s-t}{2}}} \quad \rho=\begin{cases} \pm 1 &\quad(\text{$n=s+t$が偶数のとき})\\ (-1)^{\frac{s-t-1}{2}} &\quad(\text{$n=s+t$が奇数のとき}).\\ \end{cases} \end{align*} <証明終>
$s-t$と符号$\rho,\iota$の関係を表にまとめると、以下のようになる。明らかに、$\rho,\iota$は$s-t\ \mod 8$の周期で繰り返す。
| $s-t\ (\mod 8)$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| $\rho$ | +/- | + | +/- | – | +/- | + | +/- | – |
| $\iota$ | + | + | +/- | – | – | – | -/+ | + |
符号$\iota$はガンマ行列の相似変換で不変
ガンマ行列を\eqref{B gamma transf}式のように変換しても、符号$\iota$は不変である。
<証明>
\eqref{B comp}式の$B_{\rho}$を、\eqref{B transf}式を用いて変換後の$B’_{\rho}$で表すと、
\begin{align*}
B_{\rho}B_{\rho}^{*}&=\iota\\
M B’_{\rho} \qty(M^{-1})^{*}\qty(M B’_{\rho} \qty(M^{-1})^{*})^{*}&=\iota\\
B’_{\rho}{B’_{\rho}}^{*}&=\iota
\end{align*}
となるから、この変換で$\iota$は不変である。
<証明終>
符号$\iota$は計量テンソルの符号の入れ替えで不変
計量テンソル$\eta_{\mu\nu} =\diag(\underbrace{+1,+1,\cdots,+1}_{\text{$s$個}},\underbrace{-1,-1,\cdots,-1}_{\text{$t$個}})$の符号を入れ替えて、 \begin{align*} \eta_{\mu\nu} =\diag(\underbrace{-1,-1,\cdots,-1}_{\text{$s$個}},\underbrace{+1,+1,\cdots,+1}_{\text{$t$個}}) \end{align*} としても、符号$\iota$は不変である。これは、\eqref{iota}式において、$s-t$を$t-s$に置き換えて符号を計算してみれば直ちにわかる。
エルミート基底におけるB行列
エルミート基底: \begin{align*} \qty(\gamma_{\mu})^{\dag} =\begin{cases} +\gamma_{\mu}\quad(\mu=1,2,\cdots,s)\\ -\gamma_{\mu}\quad(\mu=s+1,s+2,\cdots,n)\\ \end{cases} \end{align*} では、これまでに証明した一般的性質に加えて、次の性質が成り立つ: \begin{align*} B_{\rho}^{\dag}\propto B_{\rho}^{-1},\quad B_{\rho}^{t}\propto B_{\rho},\quad \text{など…} \end{align*} これらの性質は、\eqref{B arbitrarity}式や\eqref{B trans}式の場合と同様にして証明できる。
- $\sum_{k=0}^n\sum_{n_t=0}^{k}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}=2^n$は以下のようにして納得できる。
まず、$n$個のものから$k$個を選ぶ場合の数は、$\comb{n}{k}$である。$n$個のものを、$t$個からなるグループAと$n-t$個からなるグループBの2組に分けて考えたとき、グループAから$n_t=0,1,2,\cdots,k$個、グループBから$k-n_t$個選ぶと考えて、この場合の数を数えなおすことで、$\sum_{n_t=0}^{k}\comb{t}{n_t}\cdot\comb{n-t}{k-n_t}=\comb{n}{k}$が示される。$\sum_{k=0}^n\comb{n}{k}=2^n$は容易に分かる。 - \eqref{expand}式は、右辺を展開することで容易に示せる。
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