ガンマ行列や関連する行列のトレースについてまとめる。例によって、$n$は時空の次元であり、$N$はガンマ行列のサイズである。
ガンマ行列のトレース
ガンマ行列のトレースは0である:
\begin{align*}
\tr\qty[\gamma_{\mu}]=0.
\end{align*}
<証明>
$\mu\neq \nu$とすると、トレースの循環性を用いて、
\begin{align*}
\tr[\underbrace{\qty{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}}}_{=\mathbf{0}_N}\gamma^{\nu}]&=\tr[\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma^{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\gamma^{\nu}]\\
0&=2\tr[\gamma_{\mu}]
\end{align*}
である。(ただし、$\nu$のについての和は取っていない。)
これより、
\begin{align*}
\tr[\gamma_{\mu}]=0
\end{align*}
である。
<証明終>
ガンマ行列の反対称積のトレース
反対称積1つのトレース
\begin{align}
\tr\qty[\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}}]
&=
\begin{cases}
N&\quad(\text{$k=0$のとき})\\
i^{\frac{s-t-1}{2}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\tr\qty[\gamma_*]
&\quad\text{($n$が奇数かつ$k=n$のとき)}\\
0&\quad\text{(上記以外のとき)}
\end{cases}\label{gamma anti trace1}\\
\tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}}]
&=
\begin{cases}
N&\quad(\text{$k=0$のとき})\\
i^{\frac{s-t-1}{2}}\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\tr\qty[\gamma_*]
&\quad\text{($n$が奇数かつ$k=n$のとき)}\\
0&\quad\text{(上記以外のとき)}
\end{cases}\label{gamma anti trace2}
\end{align}
<証明>
最初に$\tr\qty[\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}}]$を考えよう。ガンマ行列-1-定義・性質で提示した反対称積の定義(??)式より、
\begin{align}
\tr\qty[\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]
&=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\sgn(\sigma)\tr\qty[\gamma_{\mu_{\sigma_1}}\gamma_{\mu_{\sigma_2}}\cdots\gamma_{\mu_{\sigma_k}}]\label{gamma anti product trace}
\end{align}
である。ただし、$S_k$は$\qty{1,2,\cdots, k}$の置換全体がなす集合であり、$\sgn(\sigma)$は置換$\sigma=\mqty(1 & 2 & \cdots & k \\ \sigma_1 & \sigma_2 & \cdots & \sigma_k)$の符号である。
トレースが0になるのは、以下の3パターンである。
- $k>n$のとき
反対称性より$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}}=\mathbf{0}_N$だから、このトレースが0になることは明らかである。 - $k< n$かつ$k$が0でない偶数のとき
\eqref{gamma anti product trace}式右辺における順列$(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_k)$と、これを1回循環させた新たな順列$(\sigma_k,\sigma_1,\cdots,\sigma_{k-1})$の偶奇は互いに異なる。この事実とトレースの巡回性を組み合わせると、ある順列$(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_k)$に対応する項に対して、必ずそれを打ち消す項(順列$(\sigma_k,\sigma_1,\cdots,\sigma_{k-1})$に対応する項)が存在するため、和は全体として相殺し、0になる。 - $k<n$かつ$k$が奇数のとき
この場合は、\eqref{gamma anti product trace}式右辺における順列$\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_k$と、これを1回循環させた順列の偶奇は互いに等しい。そのため、和は全体として相殺しない。そこで、和の各項を考えていく。各項は置換の符号を除いて以下のような形をしている: \begin{align*} \tr\qty[\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}] \quad\text{(ただし、$\nu_1,\nu_2,\cdots,\nu_k$はすべて異なる)} \end{align*} これに$\mathbf{1}=\gamma_{\nu_{k+1}}\gamma_{\nu_{k+1}}$ (ただし、$\nu_{k+1}$は$\nu_1,\nu_2,\cdots, \nu_k$のいずれとも等しくない。$\qty(\gamma_{\nu_{k+1}})^2=-\mathbf{1}_N$となる場合もあるだろうが、そのときは$\gamma_{\nu_{k+1}}\to i\gamma_{\nu_{k+1}}$とでも置き換えればよい。)を挿入し、\begin{align*} \tr\qty[\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}] &=\pm\tr\qty[\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}\gamma_{\nu_{k+1}}\gamma_{\nu_{k+1}}] \end{align*} とする。右辺について、トレースの巡回性より、 \begin{align} \tr\qty[\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}\gamma_{\nu_{k+1}}\gamma_{\nu_{k+1}}] =\tr\qty[\gamma_{\nu_{k+1}}\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}\gamma_{\nu_{k+1}}]\label{odd 1} \end{align} である。
一方、$\gamma_{\nu_{k+1}}$を、$k$個のガンマ行列を飛び越えさせて左側に移すと、\begin{align} \tr\qty[\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}\gamma_{\nu_{k+1}}\gamma_{\nu_{k+1}}] =\underbrace{(-1)^k}_{=-1}\tr\qty[\gamma_{\nu{k+1}}\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}\gamma_{\nu_{k+1}}] =-\tr\qty[\gamma_{\nu_{k+1}}\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}\gamma_{\nu_{k+1}}]\label{odd 2} \end{align} である。
\eqref{odd 1}式と\eqref{odd 2}式より、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma_{\nu_1}\gamma_{\nu_2}\cdots\gamma_{\nu_k}] =0 \end{align*} が帰結される。よって、これの線形結合として表される$\tr\qty[\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]$も0である。
トレースが0ではないのは以下の2通りである。
- $k=0$のとき
この場合は単に$\mathbf{1}_N$のトレースを取るだけだから、結果は$N$である。 - $k=n$かつ$k$が奇数のとき
$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\propto\gamma_*$であり、$\tr\qty[\gamma_*]=0$である保証はないため、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}] &=\tr\qty[\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n]\\ &=\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} \tr\qty[i^{\frac{s-t-1}{2}}\gamma_*]\\ &=i^{\frac{s-t-1}{2}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\tr\qty[\gamma_*] \end{align*} となる。
こうして\eqref{gamma anti trace1}式が示された。
$\tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{k}}]$についても同様に証明できる。証明はほぼ平行的だが、「$k=n$かつ$k$が奇数のとき」の議論は以下のように変更される:
\begin{align*}
\tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]
&=\tr\qty[(-1)^t\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma^1\gamma^2\cdots\gamma^n]\\
&=\cancel{(-1)^t}\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} \tr\qty[\cancel{(-1)^t}\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n]\\
&=\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} \tr\qty[i^{\frac{s-t-1}{2}}\gamma_*]\\
&=i^{\frac{s-t-1}{2}}\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\tr\qty[\gamma_*].
\end{align*}
<証明終>
反対称積2つのトレース
ただし、$\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_k}$は一般化されたクロネッカーのデルタであり、以下のように定義される: \begin{align*} \delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_k} \equiv\sum_{\sigma\in S_k}\sgn(\sigma) \delta^{\mu_1}_{\nu_{\sigma_1}}\delta^{\mu_2}_{\nu_{\sigma_2}}\cdots\delta^{\mu_k}_{\nu_{\sigma_k}}. \end{align*} また、$\varepsilon^{\mu_{m+1}\mu_{m+2}\cdots\mu_{k}}{}_{\rho_{m+1}\rho_{m+2}\cdots\rho_{l}}$は、 \begin{align*} \varepsilon^{\mu_{m+1}\mu_{m+2}\cdots\mu_{k}}{}_{\rho_{m+1}\rho_{m+2}\cdots\rho_{l}} =\eta_{\rho_{m+1}\nu_{m+1}}\eta_{\rho_{m+2}\nu_{m+2}}\cdots\eta_{\rho_{l}\nu_{l}}\varepsilon^{\mu_{m+1}\mu_{m+2}\cdots\mu_{k}\nu_{m+1}\nu_{m+2}\cdots\nu_{l}} \end{align*} という意味である。
<証明>
左辺のトレースの中身にガンマ行列-2-反対称積で証明した反対称積の展開公式(??)を適用すると、
- $n$が偶数かつ$k,l\leq n$で$k=l$のとき、または$n$が奇数かつ$k+l<n$で$k=l$のとき
\eqref{nm1}式右辺は、$m=k$の項のみが残り、\begin{align*} \tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}] &=(-1)^{\frac{1}{2}k(2k-k-1)}\frac{k!k!}{(k-k)!(k-k)!k!}\delta^{\mu_1}_{\nu_1}\delta^{\mu_2}_{\nu_2}\cdots\delta^{\mu_k}_{\nu_k}\tr\qty[\mathbf{1}_N]\\ &\\ &=(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}Nk!\delta^{\mu_1\phantom{.}}_{\nu_1\phantom{.}}\delta^{\mu_2\phantom{.}}_{\nu_2\phantom{.}}\cdots\delta^{\mu_k\phantom{.}}_{\nu_k\phantom{.}} \end{align*}である。ここで、一般化されたクロネッカーのデルタを用いて、\begin{align*} \delta^{\mu_1}_{\nu_1}\delta^{\mu_2}_{\nu_2}\cdots\delta^{\mu_k}_{\nu_k} =\delta^{\mu_1\phantom{.}}_{\nu_1\phantom{.}}\delta^{\mu_2\phantom{.}}_{\nu_2\phantom{.}}\cdots\delta^{\mu_k\phantom{.}}_{\nu_k\phantom{.}} =\frac{1}{k!}\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_k} \end{align*}と表わせることと、$(-1)^{\frac{1}{2}k(k-1)}=(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}$であることを使うと、 \begin{align*} \tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}] =(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}N\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots\nu_k} \end{align*} が得られる。 - $n$が奇数かつ$k+l>n$で$k=l$のとき
証明は先ほどの場合と同じである。新たに、$n$が奇数だから、\eqref{nm1}式右辺の反対称積が$n$階になるとき、即ち、$k-m+l-m=n\Longleftrightarrow k+l-2m=n$となる場合を考慮すべきに思える。なぜなら、反対称積は$n$次元のカイラリティ行列に比例するため、トレースが0となる保証がないからである。しかし今、$k=l$より$k+l=2k$で、$n$は奇数だから、等式$k+l-2m=n$は成立し得ない。つまり、$n$階の反対称積が右辺に現れることはないため、この特殊な場合を考える必要はない。 - $n$と$k+l$が奇数かつ$k+l>n$で$k\neq l$のとき
この場合、先ほどは実現しなかった$k+l-2m=n$がみたされるから、$m=\frac{k+l-n}{2}$の項のみが残る。この項の$\gamma^{\mu_{m+1}\cdots \mu_k}{}_{\nu{m+1}\cdots \nu_l}$は$n$階だから、 \begin{align*} \gamma^{\mu_{m+1}\cdots \mu_k}{}_{\nu{m+1}\cdots \nu_l} &=\eta^{\mu_{m+1}\rho_{m+1}}\eta^{\mu_{m+2}\rho_{m+2}}\cdots\eta^{\mu_{k}\rho_{k}}\gamma_{\rho_{m+1}\rho_{m+2}\cdots \rho_{k}\nu_{m+1}\nu_{m+2}\cdots \nu_{k}}\\ &=\eta^{\mu_{m+1}\rho_{m+1}}\eta^{\mu_{m+2}\rho_{m+2}}\cdots\eta^{\mu_{k}\rho_{k}}\varepsilon_{\rho_{m+1}\rho_{m+2}\cdots \rho_{k}\nu_{m+1}\nu_{m+2}\cdots \nu_{k}}\underbrace{\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n}_{=i^{\frac{s-t-1}{2}}\gamma_*}\\ &=i^{\frac{s-t-1}{2}}\varepsilon^{\mu_{m+1}\mu_{m+2}\cdots \mu_k}{}_{\nu_{m+1}\nu_{m+1}\cdots \nu_l}\gamma_* \end{align*} と表わされることを使えば、\begin{equation*} \begin{split} \tr\qty[\gamma^{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}\gamma_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_l}] =(-1)^{\frac{1}{2}m\qty(2k-m-1)}\frac{k! l!}{(k-m)! (l-m)! m!}i^{\frac{s-t-1}{2}}\tr\qty[\gamma_*]\delta^{\mu_1}_{\nu_1}\delta^{\mu_2}_{\nu_2}\cdots\delta^{\mu_m}_{\nu_m}\varepsilon^{{\mu_{m+1}}{\mu_{m+2}}\cdots {\mu_k}}{}_{{\nu_{m+1}}{\nu_{m+2}}\cdots {\nu_l}} \end{split} \end{equation*}が得られる。 - 上記以外の場合
以上の場合以外が0となることは容易に分かる。
こうして、\eqref{gamma ortho}式が示された。
<証明終>
この公式における「$n$が奇数かつ$k+l>n$で$k=l$のとき」と「$n$と$k+l$が奇数かつ$k+l>n$で$k\neq l$のとき」は、ほとんど使われることがない。したがって実用上、この公式は、
ガンマ行列のいくつかの積のトレース
\begin{equation}\label{prod1}
\begin{split}
&\tr\qty[\gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}\cdots\gamma_{\mu_k}]\\
&=
\begin{cases}
&\displaystyle N\sum_{\sigma\in F_{k,\frac{k}{2}}}\sgn(\sigma)\eta_{\mu_{\sigma_1}\mu_{\sigma_2}}\eta_{\mu_{\sigma_3}\mu_{\sigma_4}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_{k-1}}\mu_{\sigma_{k}}}
\quad(\text{$k$が偶数のとき})\\
&\\
&\displaystyle \frac{1}{n!}i^{\frac{s-t-1}{2}}\tr\qty[\gamma_*]\sum_{\sigma\in F_{k,\frac{k-n}{2}}}\sgn(\sigma)\eta_{\mu_{\sigma_1}\mu_{\sigma_2}}\eta_{\mu_{\sigma_3}\mu_{\sigma_4}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_{k-n-1}}\mu_{\sigma_{k-n}}}\varepsilon_{\mu_{\sigma_{k-n+1}}\mu_{\sigma_{k-n+2}}\cdots\mu_{\sigma_{k}}}
\quad(\text{$n$と$k$がともに奇数で、$k\geq n$のとき})\\
&\\
&0\quad(\text{上記以外のとき}).
\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
ただし、$F_{k,m}$は$n$次対称群$S_k$の部分集合である:
\begin{align}F_{k,m}=\qty{\sigma\in S_k | \sigma_{2p-1}<\sigma_{2p}\quad (p=1,2,\cdots, m),\quad\sigma_{1}<\sigma_{3}<\cdots<\sigma_{2m-1}}.
\end{align}
<証明>
ガンマ行列-2-反対称積で証明した反対称積の展開公式(??)を使って、$\gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}\cdots\gamma_{\mu_k}$を反対称積によって展開すると、
\begin{align*}
\tr\qty[\gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}\cdots\gamma_{\mu_k}]
=\sum_{m=0}^{\floor{\frac{k}{2}}}\frac{1}{(k-2m)!}\sum_{\sigma\in F_{k,m}}\sgn(\sigma)\eta_{\mu_{\sigma_1}\mu_{\sigma_2}}\eta_{\mu_{\sigma_3}\mu_{\sigma_4}}\cdots\eta_{\mu_{\sigma_{2m-1}}\mu_{\sigma_{2m}}}\tr\qty[\gamma_{\mu_{\sigma_{2m+1}}\cdots \mu_{\sigma_k}}]
\end{align*}
である。
この$\tr\qty[\gamma_{\mu_{\sigma_{2m+1}}\cdots \mu_{\sigma_k}}]$に\eqref{gamma anti trace1}式を適用すると、\eqref{prod1}式が直ちに得られる。
<証明終>
特に、4次元ミンコフスキー時空において、ガンマ行列を最小サイズ$4$に取り、$k=4$の場合を考えると、\begin{align} \tr\qty[\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho}\gamma_{\sigma}] &=4\qty(\eta_{\mu\nu}\eta_{\rho\sigma}-\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}+\eta_{\mu\sigma}\eta_{\nu\rho}) \end{align} が得られる。
カイラリティ行列が関わる公式
カイラリティ行列のトレース
次元$n$が偶数のとき、カイラリティ行列のトレースは0である:
\begin{align*}
\tr[\gamma_*]=0\quad(\text{$n$が偶数のとき}).
\end{align*}
<証明>
$\tr[\gamma_*]\propto\tr\qty[\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n]$だが、トレースの巡回性より、
\begin{align*}
\tr\qty[\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n]
=\tr\qty[\gamma_n\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_{n-1}]
\end{align*}
である。一方、トレースの中身の$\gamma_n$を、$n-1$個のガンマ行列を飛び越えさせることで左に移すと、\begin{align*}
\tr\qty[\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n]
=\underbrace{(-1)^{n-1}}_{=-1}\tr\qty[\gamma_n\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_{n-1}]
=-\tr\qty[\gamma_n\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_{n-1}]
\end{align*}
である。これら2つの結果より、$n$が偶数のとき、$\tr[\gamma_*]=0$であることが示される。
<証明終>
カイラリティ行列のと反対称積のトレース
\begin{align*}
\tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]
&=
\begin{cases}
i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}N\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}
&\quad(\text{$k=n$のとき})\\
\tr\qty[\gamma_*]
&\quad(\text{$n$が奇数かつ$k=0$のとき})\\
0&\quad(\text{上記以外のとき})\\
\end{cases}
\end{align*}
<証明>
まず、$k=n$の場合を考える。$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$に対して、ガンマ行列-2-反対称積の双対公式(??)を適用すると、
\begin{align*}
\tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]
&=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\frac{s+3t}{2}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}
\tr\qty[\underbrace{\gamma_*\gamma_*}_{=\mathbf{1}_N}\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}]\\
&=\frac{1}{(n-k)!}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}(-i)^{\frac{s+3t}{2}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}
\tr\qty[\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}]
\end{align*}
である。$\tr\qty[\gamma^{\mu_{k+1}\mu_{k+2}\cdots \mu_{n}}]$に\eqref{gamma anti trace2}式を適用すれば、$k=n$の場合のみが0でない値を取り、
\begin{align*}
\tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]
&=(-1)^{\floor{\frac{n}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}
N
\end{align*}
となる。
ここで、$n=s+t$であることに注意して、位相因子を
\begin{align*}
(-1)^{\floor{\frac{n}{2}}}(-i)^{\frac{s+3t}{2}}
=i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}
\end{align*}
と変形すれば、
\begin{align*}
\tr[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]
&=i^{\floor{\frac{s-t}{2}}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}N
\end{align*}
が示される。
$n$が奇数で$k=0$のときは、反対称積が単位行列だから、明らかに、
\begin{align*}
\tr\qty[\gamma_*\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}]
=\tr\qty[\gamma_*\cdot\mathbf{1}_N]
=\tr\qty[\gamma_*]
\end{align*}
である。
<証明終>
その他の公式
偶数個のガンマ行列の積のトレースは、積の順番を逆順に並べ替えても変わらない:
\begin{align*}
\tr\qty[\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_{2r}}]
=\tr\qty[\gamma^{\mu_{2r}}\gamma^{\mu_{2r-1}}\cdots\gamma^{\mu_1}]
\end{align*}
<証明>
で導入する$C$行列$C_{\pm}$について、
\begin{align*}
C_{\pm}^{-1}\gamma^{\mu}C_{\pm}
=\pm\qty(\gamma^{\mu})^t
\end{align*}
だから、
\begin{align*}
\tr\qty[\gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_{2r}}]
&=\tr\qty[C_{\pm}C_{\pm}^{-1}\gamma^{\mu_1}C_{\pm}C_{\pm}^{-1}\gamma^{\mu_2}C_{\pm}C_{\pm}^{-1}\cdots C_{\pm}C_{\pm}^{-1}\gamma^{\mu_{2r}}C_{\pm}C_{\pm}^{-1}]\\
&=\tr\qty[\qty(\pm\gamma^{\mu_1})^t\qty(\pm\gamma^{\mu_2})^t\cdots\qty(\pm\gamma^{\mu_{2r}})^t]\\
&=\tr\qty[\qty(\gamma^{\mu_1})^t\qty(\gamma^{\mu_2})^t\cdots\qty(\gamma^{\mu_{2r}})^t]\\
&=\tr\qty[\qty(\gamma^{\mu_{2r}}\gamma^{\mu_{2r-1}}\cdots\gamma^{\mu_{1}})^t]\\
&=\tr\qty[\gamma^{\mu_{2r}}\gamma^{\mu_{2r-1}}\cdots\gamma^{\mu_{1}}]
\end{align*}
が示される。最後の等式では$\tr\qty[A]=\tr\qty[A^t]$であることを用いた。
<証明終>
参考文献
- ガンマ行列の内積とトレース https://cf949217.cloudfree.jp/rqm/rqm.html 物理のぺーじ♥
- formula.pdf (v20230329) https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~hideo.kodama/library.html 未知探訪
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