ガンマ行列-1-定義・性質

　一般の$n$次元のガンマ行列に関する性質・公式をまとめたい。本ページでは、そのための諸定義や記法の整理を行う。定義から直ちに分かる性質についてもまとめる。定義からは直ちに得られないが基本的で重要な性質は、証明を別ページに回して結果だけ列挙する。

ガンマ行列の定義

　$n$次元時空の計量$\eta$が、 \begin{align*} \eta_{\mu\nu} =\diag(\underbrace{+1,+1,\cdots,+1}_{\text{$s$個}},\underbrace{-1,-1,\cdots,-1}_{\text{$t$個}})\quad(s+t=n) \end{align*} と与えられているとする。(添え字$\mu,\nu$は$1$から$n$を走る)
　ガンマ行列$\gamma_{\mu}$は以下の反交換関係をみたす行列として定義される: \begin{align} \qty{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}} =2\eta_{\mu\nu}\mathbf{1}_N.\label{gamma matrix def 5} \end{align} ここで、ガンマ行列のサイズを$N$としている。

　上つき添え字のガンマ行列$\gamma^{\mu}$は、$\gamma_{\mu}$の添え字を計量$\eta$によって上げたものとする: \begin{align*} \gamma^{\mu}=\eta^{\mu\nu}\gamma_{\nu}. \end{align*}

　特に、$n$次元のガンマ行列であることを明示したいときは、 \begin{align*} \gamma^{(n)}_{\mu} \end{align*} と書くこともある。

定義より直ちに分かるガンマ行列$\gamma_{\mu}$の性質

　ガンマ行列$\gamma^{\mu}$が以下をみたすことは定義から明らかである: \begin{align*} &\qty(\gamma_{\mu})^2= \begin{cases} +\mathbf{1}_{N}\quad(\text{$\mu=1,2,\cdots,s$のとき})\\ -\mathbf{1}_{N}\quad(\text{$\mu=s+1,s+2,\cdots,n$のとき}), \end{cases}\\ &\qty(\gamma^{\mu})^{-1}= \begin{cases} +\gamma_{\mu}\quad(\text{$\mu=1,2,\cdots,s$のとき})\\ -\gamma_{\mu} \quad(\text{$\mu=s+1,s+2,\cdots,n$のとき}). \end{cases} \end{align*}

基本的だが証明を要する性質

　以下の性質は証明を要する。証明には今後示す公式が必要だが、ここでは結果だけ載せておく。

• ガンマ行列はのトレースは$0$である:$\tr\qty[\gamma_{\mu}]=0.$


• ガンマ行列のサイズ$N$の最小のサイズは$2^{\floor{\frac{n}{2}}}$であり、一般に$N$は最小サイズの$2^{\text{正の整数}}$倍である。


• (パウリの基本定理) \eqref{gamma matrix def 5}式をみたすガンマ行列同士は相似変換で結ばれる。即ち、 \begin{align*} \qty{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}}=2\eta_{\mu\nu}\mathbf{1}_N,\quad \qty{\gamma’_{\mu},\gamma’_{\nu}}=2\eta_{\mu\nu}\mathbf{1}_N \end{align*} をみたす2組のガンマ行列$\gamma_{\mu},\gamma’_{\mu}$があるとき、これらは何らかの行列$M$を用いて、 \begin{align*} \gamma’_{\mu}=M^{-1}\gamma_{\mu}M \end{align*} なる関係で結ばれる。

ガンマ行列の反対称積

　$k$個のガンマ行列の反対称積$\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}$を以下のように定義する。これをガンマ行列の$k$階の反対称積と呼ぶ: \begin{equation}\label{anti sym def} \begin{split} \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\equiv \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\sgn(\sigma)\gamma_{\mu_{\sigma_1}}\gamma_{\mu_{\sigma_2}}\cdots\gamma_{\mu_{\sigma_k}} &\quad(\text{$k\geq 1$のとき})\\ \mathbf{1}_{N}&\quad(\text{$k=0$のとき}). \end{cases} \end{split} \end{equation} ただし、$S_k$は$\qty{1,2,\cdots, k}$の置換全体がなす集合であり、$\sgn(\sigma)$は置換$\sigma=\mqty(1 & 2 & \cdots & k \\ \sigma_1 & \sigma_2 & \cdots & \sigma_k)$の符号である。例えば、$k=2$のときは、 \begin{align*} \gamma_{\mu_1\mu_2}=\frac{1}{2!}\qty(\gamma_{\mu_1}\gamma_{\mu_2}-\gamma_{\mu_2}\gamma_{\mu_1}) \end{align*} である。

　上付き添え字についても同様である: \begin{align*} \gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\equiv \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\sgn(\sigma)\gamma^{\mu_{\sigma_1}}\gamma^{\mu_{\sigma_2}}\cdots\gamma^{\mu_{\sigma_k}} &\quad(\text{$k\geq 1$のとき})\\ \mathbf{1}_{N}&\quad(\text{$k=0$のとき}). \end{cases} \end{align*}

　添え字が反対称化されていることを以下の\eqref{anti1}式、\eqref{anti2}式の右辺のような記号で表記することもある: \begin{align} \gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} = \gamma_{[\mu_1} \gamma_{\mu_2} \cdots \gamma_{\mu_k]},\label{anti1} \end{align}

反対称積のレビチビタ記号による表現

　下つき添え字のレビ・チビタ記号$\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}$を以下のように定義する: \begin{align*} \varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}= \begin{cases}+1&\quad(\text{$(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_{n})$が偶順列のとき})\\ -1&\quad(\text{$(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_{n})$が奇順列のとき})\\ 0.&\quad(\text{それ以外}) \end{cases} \end{align*}

　上つき添え字のレビ・チビタ記号$\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}$は$\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}}$の添え字を計量$\eta$によって上げたものとみなす。すると、 \begin{align*} \varepsilon^{12\cdots n} =\varepsilon_{\nu_1\nu_2\cdots\nu_n}\eta^{1\nu_1}\eta^{2\nu_2}\cdots\eta^{n\nu_n} =\det\eta =(-1)^t \end{align*}だから、 \begin{align*} \varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}} =(-1)^t\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{n}} \end{align*} である。

　ガンマ行列の反対称積は、レビ・チビタ記号を用いて次のようにも表せる: \begin{equation} \label{levi} \begin{split} &\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} =\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{k},\\ &\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k} =(-1)^t\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma^{1}\gamma^{2}\cdots\gamma^{k}. \end{split} \end{equation}

カイラリティ行列$\gamma_*$の定義・性質

　カイラリティ行列$\gamma_*$は以下のように定義される: \begin{align*} \gamma_* =(-i)^{\floor{\frac{s-t}{2}}}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}. \end{align*} 　上つき添え字のガンマ行列で表すなら、以下のようになる: \begin{align*} \gamma_*=(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\gamma^{1}\gamma^{2}\cdots\gamma^{n}. \end{align*} \eqref{levi}式より、カイラリティ行列は以下のようにも表せる: \begin{align*} \gamma_* &=\frac{1}{n!}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\\ &=\frac{1}{n!}(-i)^{\floor{\frac{s+3t}{2}}}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}. \end{align*} ただし、$\varepsilon^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}\varepsilon_{\mu_1\mu_2\cdots\mu_n}=(-1)^tn!$を使った。
　特に、$n$次元のカイラリティ行列であることを明示したいときは、 \begin{align*} \gamma^{(n)}_{*} \end{align*} と書くこともある。

定義より直ちに示せるカイラリティ行列の性質

カイラリティ行列$\gamma^{\mu}$が以下をみたすことは定義から容易に示せる: \begin{align} &\qty{\gamma_{\mu},\gamma_*}=0 &\quad(\text{$n$が偶数のとき})\label{*3}\\ &\qty(\gamma_*)^2=\mathbf{1}_{N}\label{*1} \end{align} <証明>
　\eqref{*3}式は定義より明らかである。
　\eqref{*1}を示す。 \begin{align*} \qty(\gamma_*)^2 &=(-1)^{\floor{\frac{s-t}{2}}}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}\\ &=(-1)^{\floor{\frac{s-t}{2}}}\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{n}(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\gamma_{n}\gamma_{n-1}\cdots\gamma_{1}\\ &=(-1)^{\floor{\frac{s-t}{2}}-\frac{1}{2}n(n-1)}(-1)^t\mathbf{1}_N \end{align*} だが、容易に確かめられるように、 \begin{align*} (-1)^{\floor{\frac{s-t}{2}}-\frac{1}{2}n(n-1)+t}=+1 \end{align*} だから、 \begin{align*} \qty(\gamma_*)^2=\mathbf{1}_N \end{align*} である。
<証明終>

基本的だが証明を要する性質

以下の性質は後で証明する: \begin{align*} &\gamma_*\propto\mathbf{1}_N\quad(\text{$n$が奇数で、ガンマ行列を最小サイズに取るとき})\\ &\tr\qty[\gamma_*]=0\quad(\text{$n$が偶数のとき}) \end{align*}

射影演算子

　偶数次元において、射影演算子$P_{\pm}$は以下のように定義される: \begin{align*} P_{\pm}=\frac{\mathbf{1}_N\pm\gamma_*}{2}. \end{align*}

　射影演算子は以下をみたす: \begin{align} &\qty(P_{\pm})^2=P_{\pm}\label{Ppm1}\\ &P_{\pm}P_{\mp}=P_{\mp}P_{\pm}=\mathbf{0}_N\label{Ppm2}\\ &\gamma_* P_{\pm}=P_{\pm}\gamma_*=\pm P_{\pm}\label{Ppm3}\\ &\gamma_{\mu} P_{\pm}=P_{\mp}\gamma_{\mu}\label{Ppm4}. \end{align}

<証明>
　\eqref{Ppm1}式について、 \begin{align*} \qty(P_{\pm})^2 =\frac{1}{4}\qty(\mathbf{1}_N\pm\gamma_*)^2 =\frac{1}{4}\qty(\mathbf{1}_N\pm 2\gamma_*+\mathbf{1}_N) ~\frac{1}{2}\qty(\mathbf{1}_N\pm\gamma_*) =P_{\pm}. \end{align*} 　\eqref{Ppm2}式について、 \begin{align*} P_{\pm}P_{\mp} =\frac{1}{4}\qty(\mathbf{1}_N\pm\gamma_*)\qty(\mathbf{1}_N\mp\gamma_*) =\frac{1}{4}\qty(\mathbf{1}_N\mp\gamma_*\pm\gamma_*-\mathbf{1}_N) \mathbf{0}_N. \end{align*} $P_{\mp}P_{\pm}$も同様に計算できる。
　\eqref{Ppm3}式について、 \begin{align*} \gamma_* P_{\pm} =\gamma_*\frac{1}{2}\qty(\mathbf{1}_N\pm\gamma_*) =\frac{1}{2}\qty(\gamma_*\pm\mathbf{1}_N) =\pm\frac{1}{2}\qty(\mathbf{1}_N\pm\gamma_*) =\pm P_{\pm}. \end{align*} $P_{\pm}\gamma_*$も同様に計算できる。
　\eqref{Ppm3}式について、 \begin{align*} \gamma_{\mu}P_{\pm} =\gamma_{\mu}\frac{1}{2}\qty(\mathbf{1}_N\pm\gamma_*) =\frac{1}{2}\qty(\mathbf{1}_N\mp\gamma_*)\gamma_{\mu} =P_{\mp}\gamma_{\mu}. \end{align*} \begin{align*} \end{align*} <証明終>

脚注

1. この等式の証明は、レビ・チビタ記号と一般化されたクロネッカーのデルタを見るがよい。


2. この符号の計算には、$(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}=(-1)^{\floor{\frac{n}{2}}}$を用いた。この等式の証明は、位相因子の計算を見るがよい。