グラスマン数-2-微積分

2026.03.04

注意: 本ページでは、独立なグラスマン数の最大個数を$n$とする。

グラスマン数の関数

　グラスマン数を引数に持つ関数は、c数を引数にもつ関数のテイラー展開にグラスマン数を代入することで定義される。例えば、指数関数は、 \begin{align*} e^{\mathcal{G}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\mathcal{G}^k=1+\mathcal{G} \end{align*} である。べき零性より、2次以降の項は$0$である。
　一般に、$m(\leq n)$個のグラスマン数を引数に持つ関数は、べき零性により高々$m$次の多項式となる。即ち、そのような関数$f(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}_m)$は、 \begin{align*} f(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}_m)&=f_0 +\sum_{1\leq i_1\leq m}f_{i_1}\mathcal{G}_{i_1} +\sum_{1\leq i_1\leq i_2\leq m}f_{i_1i_2}\mathcal{G}_{i_1}\mathcal{G}_{i_2} +\cdots +\sum_{1\leq i_1\leq i_2\leq\cdots\leq i_m\leq m}f_{i_1i_2\cdots i_m}\mathcal{G}_{i_1}\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m} \end{align*} と表わされるということである。ただし、係数$f_0,f_{i_1},f_{i_1i_2},f_{i_1i_2\cdots i_m}$は$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}_m$を含まないe数である。

グラスマン数の微分

微分の定義

　グラスマン数$\mathcal{G}$による微分$\pdv{}{\mathcal{G}}$を、以下のように定義する:

  1. $a,b$をc数、$f(\mathcal{G}),g(\mathcal{G})$をグラスマン数$\mathcal{G}$の関数とするとき、 \begin{align*} \pdv{}{\mathcal{G}}\qty(af(\mathcal{G})+bg(\mathcal{G})) =a\pdv{}{\mathcal{G}}f(\mathcal{G})+b\pdv{}{\mathcal{G}}g(\mathcal{G}) \end{align*} が成り立つ。　(線形性)

  2. 微分がc数にかかると$0$となる: \begin{align} \pdv{}{\mathcal{G}}c=0.\quad(\text{$c$はc数})\label{c der} \end{align}

  3. グラスマン数の積の微分: \begin{equation} \label{der def g} \begin{split} \begin{cases} \pdv{}{\mathcal{G}_{i_1}} \qty(\mathcal{G}_{i_1}\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m}) = \mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m}\\ \\ \pdv{}{\mathcal{G}_{i_1}} \qty(\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m}) = 0\quad(\text{被微分関数に$\mathcal{G}_{i_1}$が含まれない場合}). \end{cases} \end{split} \end{equation}
　積の微分において、微分するグラスマン数があらかじめ一番左にないときは、反可換性を用いて次のようにすればよい: \begin{align} &\pdv{}{\mathcal{G}_i}\qty(\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_i\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m)\notag\\ &\quad=\pdv{}{\mathcal{G}_i}\qty((-1)^{i-1}\mathcal{G}_i\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m)\notag\\ &\quad=(-1)^{i-1}\pdv{}{\mathcal{G}_i}\qty(\mathcal{G}_i\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m)\notag\\ &\quad=(-1)^{i-1}\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m\label{gr1} \end{align}

微分演算子はグラスマン奇

　微分の定義より、微分演算子$\pdv{}{\mathcal{G}}$はグラスマン奇のように扱ってよいことが分かる。実際、$\mathcal{G}_1\mathcal{G}_2$を$\mathcal{G}_2$で微分するとき、$\mathcal{G}_2$を左に寄せてから微分すると考えると、 \begin{align*} \pdv{}{\mathcal{G}_2}\qty(\mathcal{G}_1\mathcal{G}_2) =-\pdv{}{\mathcal{G}_2}\qty(\mathcal{G}_2\mathcal{G}_1) =-\mathcal{G}_1 \end{align*} である。これは、$\pdv{}{\mathcal{G}_2}$をグラスマン奇とみなして$\mathcal{G}_1$を飛び越えさせた場合の結果と等しい: \begin{align*} \pdv{}{\mathcal{G}_2}\qty(\mathcal{G}_1\mathcal{G}_2) =-\mathcal{G}_1\pdv{}{\mathcal{G}_2}\mathcal{G}_2 =-\mathcal{G}_1. \end{align*}

g-線形性

　係数がc数ではなく、一般のe数のときは、以下のg-線形性が成り立つ。これは定義の各事項を統合すれば明らかである: \begin{align*} \pdv{}{\mathcal{G}_{i_1}}\qty[a f(\mathcal{G}_{i_1},\mathcal{G}_{i_2},\cdots,\mathcal{G}_{i_m}) +b g(\mathcal{G}_{i_1},\mathcal{G}_{i_2},\cdots,\mathcal{G}_{i_m})] =a_d\pdv{}{\mathcal{G}_{i_1}}f(\mathcal{G}_{i_1},\mathcal{G}_{i_2},\cdots,\mathcal{G}_{i_m}) +b_d\pdv{}{\mathcal{G}_{i_1}}g(\mathcal{G}_{i_1},\mathcal{G}_{i_2},\cdots,\mathcal{G}_{i_m}). \end{align*} ただし、左辺の係数$a,b$は$\mathcal{G}_{i_1},\mathcal{G}_{i_2},\cdots,\mathcal{G}_{i_m}$を含まないe数である。つまり、これらの係数は$n-m$個の余ったグラスマン数のみに依存するから、余りのグラスマン数を$\tilde{\mathcal{G}}_1,\tilde{\mathcal{G}}_2,\cdots,\tilde{\mathcal{G}}_{n-m}$と書けば、例えば$a$は次のように展開される: \begin{align*} a=a_0 +\sum_{1\leq i_1\leq n}a_{i_1}\tilde{\mathcal{G}}_{i_1} +\sum_{1\leq i_1\leq i_2\leq n}a_{i_1,i_2}\tilde{\mathcal{G}}_{i_1}\tilde{\mathcal{G}}_{i_2} +\cdots +\sum_{1\leq i_1\leq i_2\leq\cdots\leq i_n\leq n}a_{i_1,i_2,\cdots,i_n}\tilde{\mathcal{G}}_{i_1}\tilde{\mathcal{G}}_{i_2}\cdots\tilde{\mathcal{G}}_{i_n}. \end{align*} ここで、$a_0,a_{i_1},a_{i_1,i_2},\cdots,a_{i_1,i_2,\cdots,i_n}$はc数係数である。
　一方、右辺の係数$a_d,b_d$は \begin{equation} \label{a_d} \begin{split} a_d=(-1)^0a_0 +\sum_{1\leq i_1\leq n}(-1)^1a_{i_1}\tilde{\mathcal{G}}_{i_1} +\sum_{1\leq i_1\leq i_2\leq n}(-1)^2a_{i_1,i_2}\tilde{\mathcal{G}}_{i_1}\tilde{\mathcal{G}}_{i_2} +\cdots +\sum_{1\leq i_1\leq i_2\leq\cdots\leq i_n\leq n}(-1)^na_{i_1,i_2,\cdots,i_n}\tilde{\mathcal{G}}_{i_1}\tilde{\mathcal{G}}_{i_2}\cdots\tilde{\mathcal{G}}_{i_n} \end{split} \end{equation} のように、1つのグラスマン数と交換した後の係数$a,b$を表す。今後もこのようにグラスマン数と1回交換した後のe数を表すときに、添え字$_d$を用いる。この操作を2回繰り返すと元に戻ることを留意しておこう: \begin{align*} \qty(a_d)_d=a. \end{align*}

ライプニッツ則

　微分について、以下のようなライプニッツ則が成り立つとしてよい: \begin{equation} \label{leibniz} \begin{split} \pdv{}{\mathcal{G}_i}\qty(\mathcal{E}_1\mathcal{E}_2)= \begin{cases} \qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_1)\mathcal{E}_2 + \mathcal{E}_1\qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_2)&\quad(\text{$\mathcal{E}_1$がグラスマン偶のとき})\\ \qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_1)\mathcal{E}_2 – \mathcal{E}_1\qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_2)&\quad(\text{$\mathcal{E}_1$がグラスマン奇のとき}). \end{cases} \end{split} \end{equation} 　実際、\eqref{leibniz}式において、 $\mathcal{E}_1\equiv\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_i,\ \mathcal{E}_2\equiv\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m$としてみると、 \begin{align*} \pdv{}{\mathcal{G}_i}\qty(\mathcal{E}_1\mathcal{E}_2) &=\qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_1)\mathcal{E}_2+(-1)^{i-1}\mathcal{E}_1\cancel{\qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_2)}\\ &=(-1)^{i}\qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_i)\qty(\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m)\\ &=(-1)^{i-1}\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m \end{align*} であり、$\mathcal{E}_1\equiv\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1},\ \mathcal{E}_2\equiv\mathcal{G}_i\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m$としてみると、 \begin{align*} \pdv{}{\mathcal{G}_i}\qty(\mathcal{E}_1\mathcal{E}_2) &=\cancel{\qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_1)}\mathcal{E}_2+(-1)^{i-1}\mathcal{E}_1\qty(\pdv{}{\mathcal{G}_i}\mathcal{E}_2)\\ &=(-1)^{i-1}\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\pdv{}{\mathcal{G}_i}\qty(\mathcal{G}_i\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m)\\ &=(-1)^{i-1}\mathcal{G}_1\cdots\mathcal{G}_{i-1}\mathcal{G}_{i+1}\cdots\mathcal{G}_m \end{align*} だから、\eqref{gr1}式の結果が再現される。

連鎖律

　$m(< n)$個のグラスマン数の組$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\cdots,\mathcal{G}_m$の適当な線形結合を取ると、新たにグラスマン数の組$\mathcal{G}’_1,\mathcal{G}’_2,\cdots,\mathcal{G}’_m$が得られる。この変数変換を \begin{align*} \mathcal{G}_i=\sum_{j=1}^{m}J_{ij}\mathcal{G}’_j,\quad\mathcal{G}’_i=\sum_{j=1}^{m}\qty(J^{-1})_{ij}\mathcal{G}_j \end{align*} と書こう。ただし、$J_{ij}$はc数行列である。なぜなら、変数変換前後でグラスマン数であることは変わらないからである。このとき、新たなグラスマン数の組においても、\eqref{der def g}式と同じように \begin{equation} \label{g’ differential} \begin{split} \begin{cases} \pdv{}{\mathcal{G}’_{i_1}}\qty(\mathcal{G}’_{i_1}\mathcal{G}’_{i_2}\cdots\mathcal{G}’_{i_m}) = \mathcal{G}’_{i_2}\cdots\mathcal{G}’_{i_m}\\ \pdv{}{\mathcal{G}’_{i_1}}\qty(\mathcal{G}’_{i_2}\cdots\mathcal{G}’_{i_m}) = 0\quad (\text{被微分関数に$\mathcal{G}’_{i_1}$が含まれない場合}). \end{cases} \end{split} \end{equation} が成り立つ。これより、以下の連鎖律が成り立つとしてよいことが分かる: \begin{align*} \pdv{}{\mathcal{G}’_i} =\sum_{j=1}^{m}\qty(\pdv{}{\mathcal{G}’_i}\mathcal{G}_j)\pdv{}{\mathcal{G}_j} =\sum_{j=1}^{m}\underbrace{J_{ji}}_{\mathclap{\text{添え字の順番に注意}}}\pdv{}{\mathcal{G}_j}. \end{align*} 実際、\eqref{g’ differential}式左辺において、連鎖律を使っても、 \begin{align*} &\pdv{}{\mathcal{G}’_{i_1}}\qty(\mathcal{G}’_{i_1}\mathcal{G}’_{i_2}\cdots\mathcal{G}’_{i_m})\\ &=\sum_{k,j_1,\cdots j_m=1}^{m}J_{k i_1}\pdv{}{\mathcal{G}_{k}}\qty(J^{-1})_{i_1j_1}\mathcal{G}_{j_1}\qty(J^{-1})_{i_2j_2}\mathcal{G}_{j_2}\cdots\qty(J^{-1})_{i_mj_m}\mathcal{G}_{j_m}\\ &=\sum_{k,j_1,\cdots j_m=1}^{m}J_{k i_1}\qty(J^{-1})_{i_1j_1}\qty(J^{-1})_{i_2j_2}\cdots \qty(J^{-1})_{i_mj_m} \pdv{}{\mathcal{G}_{k}} \qty(\mathcal{G}_{j_1}\mathcal{G}_{j_2}\cdots\mathcal{G}_{j_m})\\ &=\sum_{k,j_1,\cdots j_m=1}^{m}J_{k i_1}\qty(J^{-1})_{i_1j_1}\qty(J^{-1})_{i_2j_2}\cdots \qty(J^{-1})_{i_mj_m} \sum_{l=0}^{m}(-1)^{l}\delta_{kj_l} \mathcal{G}_{j_1}\mathcal{G}_{j_2}\cdots\underbrace{\widehat{\mathcal{G}_{j_l}}}_{\mathclap{\text{$\mathcal{G}_{j_l}$を除くという意味}}}\cdots\mathcal{G}_{j_m}\\ &=\sum_{l=1}^{m}\sum_{k,j_1,\cdots j_m=1}^{m}(-1)^{l-1}\underbrace{\delta_{kj_l}J_{k i_1}\qty(J^{-1})_{i_lj_l}}_{=\delta_{i_li_1}}\qty(J^{-1})_{i_1j_1}\mathcal{G}_{j_1}\qty(J^{-1})_{i_2j_2}\mathcal{G}_{j_2}\cdots\widehat{\mathcal{G}_{j_l}}\cdots\qty(J^{-1})_{i_mj_m}\mathcal{G}_{j_m}\\ &=\sum_{l=1}^{m}(-1)^{l-1}\delta_{i_l i_1}\mathcal{G}’_{i_1}\mathcal{G}’_{i_2}\cdots\widehat{\mathcal{G}’_{i_l}}\cdots\mathcal{G}’_{i_m}\\ &\quad\text{($l=1$の項のみが残る)}\\ &=\mathcal{G}’_{i_2}\cdots\mathcal{G}’_{i_m} \end{align*} となり、\eqref{g’ differential}式右辺が再現される。

グラスマン数の積分

積分の定義

　まずは1変数関数の積分を考えよう。グラスマン数には大小関係が存在しないため、グラスマン数値の範囲というものが与えられず、通常の定積分が定義できない。そこで、グラスマン数の積分の定義においては、c数の定積分が持ついくつかの性質をみたすことを以下のように要請する:

  1. $a,b$をc数、$f(\mathcal{G}),g(\mathcal{G})$をグラスマン数$\mathcal{G}$の関数とするとき、 \begin{align} \int\dd\mathcal{G}\qty[af(\mathcal{G})+bg(\mathcal{G})] =a\int\dd\mathcal{G}f(\mathcal{G}) +b\int\dd\mathcal{G}g(\mathcal{G})\label{int1} \end{align} が成り立つ。　(線形性)

  2. \begin{align} \int\dd\mathcal{G}\qty(\pdv{}{\mathcal{G}}f(\mathcal{G}))=0.\label{int2} \end{align} ($\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0$をみたす実関数$f(x)$について、$\int_{-\infty}^{\infty}\dd x \dv{}{x}f(x)=0$であることに対応)

  3. \begin{align} \pdv{}{\mathcal{G}}\int\dd\mathcal{G}f(\mathcal{G})=0.\label{int3} \end{align} (実関数$f(x)$について、$\dv{}{x}\underbrace{\int_a^b\dd x f(x)}_{\text{$x$の関数でない}}=0$であることに対応)

1と$\mathcal{G}$の積分

　$f(\mathcal{G})$は1変数関数だから、一般形は \begin{align} f(\mathcal{G})=f_0+f_1\mathcal{G}\label{1 var f} \end{align} と書けることに注意しよう。つまり、1と$\mathcal{G}$の積分が分かれば、1変数関数の積分はすべてできる。

　\eqref{1 var f}式を\eqref{int2}式に代入して計算すると、 \begin{align*} 0=\int\dd\mathcal{G} \pdv{}{\mathcal{G}}f(\mathcal{G}) =\int\dd\mathcal{G} \pdv{}{\mathcal{G}}\qty(f_0+f_1\mathcal{G}) =\int\dd\mathcal{G}(f_1)_d\cdot 1 =\qty(\int\dd\mathcal{G}1)(f_1)_d \end{align*} だから、

\begin{align} \int\dd\mathcal{G}1=0\label{g int grassmann 1} \end{align}
が結論付けられる。

　次に、\eqref{1 var f}式を\eqref{int3}式に代入して計算すると、 \begin{align} 0=\pdv{}{\mathcal{G}}\int\dd\mathcal{G} f(\mathcal{G}) =\pdv{}{\mathcal{G}}\int\dd\mathcal{G}\qty(\cancel{f_0}+f_1\mathcal{G}) =\pdv{}{\mathcal{G}} \qty(\int\dd\mathcal{G}\mathcal{G})\qty(f_1)_d \label{g int 1} \end{align} となる。これは$\int\dd\mathcal{G}\mathcal{G}$が定数であることを意味するから、最も簡単にこれを1と定義する。即ち、

\begin{align} \int\dd\mathcal{G}\mathcal{G}=1\label{g int grassmann} \end{align}
とするということである。

積分演算子はグラスマン奇

　\eqref{g int grassmann}式の下で、\eqref{g int 1}式における \begin{align*} \int\dd\mathcal{G}f_1\mathcal{G} \end{align*} の部分を考えてみると、 \begin{align} \int\dd\mathcal{G}f_1\mathcal{G} =\int\dd\mathcal{G}\mathcal{G}\qty(f_1)_d =\qty(f_1)_d\label{g int 2} \end{align} である。これは、積分演算子$\int\dd\mathcal{G}$をグラスマン奇のように扱ってよいことを意味する。実際、このように扱った結果は、 \begin{align*} \int\dd\mathcal{G}f_1\mathcal{G} =\qty(f_1)_d\int\dd\mathcal{G}\mathcal{G} =\qty(f_1)_d \end{align*} となり、\eqref{g int 2}式と一致する。

g-線形性

　係数がc数ではなく、一般のe数のときは、以下のg-線形性が成り立つ。これは、線形性\eqref{int1}と積分演算子がグラスマン奇であることから明らかである: \begin{align} \int\dd\mathcal{G}\qty[af(\mathcal{G})+bg(\mathcal{G})] =a_d\int\dd\mathcal{G}f(\mathcal{G}) +b_d\int\dd\mathcal{G}g(\mathcal{G}). \end{align} 左辺の係数$a,b$は$\mathcal{G}$を含まないe数である。

積分と微分は同じ

　グラスマン数の積の積分を見てみると、 \begin{align*} \begin{cases} &\int\dd\mathcal{G}_{i_1}\qty(\mathcal{G}_{i_1}\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m}) =\underbrace{\qty(\int\dd\mathcal{G}_{i_1}\mathcal{G}_{i_1})}_{=1}\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m} =\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m},\\ &\int\dd\mathcal{G}_{i_1}\qty(\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m}) =\qty(\mathcal{G}_{i_2}\cdots\mathcal{G}_{i_m})_d\underbrace{\int\dd\mathcal{G}1}_{=0} = 0\quad (\text{被微分関数に$\mathcal{G}_{i_1}$が含まれない場合}) \end{cases} \end{align*} である。これを\eqref{g int grassmann 1}式と合わせて\eqref{c der}式、\eqref{der def g}式と比較すると、積分演算$\int\dd\mathcal{G}$は微分演算$\pdv{}{\mathcal{G}}$と全く同じであることが分かる。これは、c数の積分と著しく異なる点である。

多変数の積分

　多重積分は、単に1変数の積分を連ねればよい。$m(\leq n)$個のグラスマン数による積分演算子を \begin{align*} \int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_m \equiv\int\dd\mathcal{G}_1\int\dd\mathcal{G}_2\cdots\int\dd\mathcal{G}_m \end{align*} と表記し、積分されるグラスマン数の積は、対応する積分測度の逆順に並べることにすれば、 \begin{align*} &\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\dd\mathcal{G}_m\mathcal{G}_m,\mathcal{G}_{m-1},\cdots,\mathcal{G}_1\\ &=\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\underbrace{\int\dd\mathcal{G}_m\mathcal{G}_m}_{=1}\mathcal{G}_{m-1},\cdots,\mathcal{G}_1\\ &=\int\dd\mathcal{G}_1\dd\mathcal{G}_2\cdots\underbrace{\int\dd\mathcal{G}_{m-1}\mathcal{G}_{m-1}}_{=1}\mathcal{G}_{m-2},\cdots,\mathcal{G}_1\\ &=\cdots\\ &=1 \end{align*} である。積分測度に対応するグラスマン数が積の中に含まれていないときは、明らかにゼロとなる。

変数変換

　$\mathcal{G}_i=\sum_{j=1}^{m}J_{ij} \mathcal{G}’_j$なるc数行列 $J_{ij}$により、$m$個のグラスマン数同士の変数変換が与えられているとする。このとき、 \begin{align*} \mathcal{G}_1\mathcal{G}_2\cdots\mathcal{G}_m &=\sum_{j_1,j_2\cdots j_m=1}^{m}\qty(J_{1 j_1}\mathcal{G}’_{j_1})\qty(J_{2 j_2}\mathcal{G}’_{j_2})\cdots\qty(J_{m j_m}\mathcal{G}’_{j_m})\\ &=\underbrace{\sum_{j_1,j_2\cdots j_m=1}^{m}\varepsilon_{i_1i_2\cdots i_m} J_{1 i_1} \cdots J_{m i_m}}_{=\det J}\mathcal{G}’_1\mathcal{G}’_2\cdots\mathcal{G}’_m\\ &=\det J \mathcal{G}’_1\mathcal{G}’_2\cdots\mathcal{G}’_m \end{align*} が成り立つ。
　この変数変換による積分測度のヤコビアンを$\widetilde{\det J}$とし、変数変換による積分演算子の変換を、 \begin{align*} \int\dd\mathcal{G}_1\cdots\dd\mathcal{G}_m =\int\widetilde{\det J}\dd \mathcal{G}’_1 \cdots \dd \mathcal{G}’_m \end{align*} と表わそう。
　変数変換前の積分は \begin{align*} \int\dd\mathcal{G}_1\cdots\dd\mathcal{G}_m \ \mathcal{G}_m\cdots\mathcal{G}_1=1 \end{align*} であり、変数変換後の積分も変わらず \begin{align*} \int\dd \mathcal{G}’_1 \cdots \dd \mathcal{G}’_m \ \mathcal{G}’_m\cdots\mathcal{G}’_1=1 \end{align*} をみたす。このとき、 \begin{align*} 1&=\int\dd\mathcal{G}_1\cdots\dd\mathcal{G}_m \ \mathcal{G}_m\cdots\mathcal{G}_1\\ &=\int\widetilde{\det J}\dd \mathcal{G}’_1 \cdots \dd \mathcal{G}’_m \det J \mathcal{G}’_m\cdots\mathcal{G}’_1 \end{align*} である。$\det J$はc数だから、右辺の積分が1(c数)となるためには、$\widetilde{\det J}$もc数で、しかも、 \begin{align} \widetilde{\det J}=\frac{1}{\det J} \end{align} でなければならない。
　したがって、 \begin{align*} \int \dd\mathcal{G}_1\cdots\dd\mathcal{G}_m =\frac{1}{\det J}\int\dd\mathcal{G}’_1\cdots\dd\mathcal{G}’_m \end{align*} が結論づけらける。ここで、$\det J$がc数だからグラスマン変数に依存しないため、積分の外に出せることを使った。c数の積分のときとは違い、分母にヤコビアンが現れることに注意しよう。

  1. 今与えられているグラスマン数は$n$個だったから、べき零性より、$n$個以上のグラスマン数を用いることはできない。

  2. このことは、グラスマン数の積分と微分が同じ操作であることからも理解できる。

参考文献

  1. 杉田勝実・岡本良夫・関根松夫, 経路積分と量子電磁気学, 森北出版, 1998
  2. M.B. Swanson, 青山秀明/川村浩之/和田信也　訳, 経路積分法-量子力学から場の理論へ-, 吉岡書店, 1996
  3. グラスマン数と経路積分https://tobirayt.wixsite.com/string-theory/blank-2 弦理論 String Theory


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