フィルツ変換

注意: 本ページでは、スピノル成分をグラスマン数として扱う。また、ガンマ行列のサイズ$N$は最小の$2^{\floor{\frac{n}{2}}}$とする。($n$は空間の次元である。)

　4次元ミンコフスキー空間において、 \begin{align*} \qty(\bar{\psi}_1\gamma^{\mu}P_{\pm}\psi_2)\qty(\bar{\psi}_3\gamma_{\mu}P_{\pm}\psi_4) =\qty(\bar{\psi}_1\gamma^{\mu}P_{\pm}\psi_4)\qty(\bar{\psi}_3\gamma_{\mu}P_{\pm}\psi_2) \end{align*} という公式が存在する。ただし、$\bar{\psi}_1,\psi_2,\bar{\psi}_3,\psi_4$は4成分スピノル、$P_{\pm}=\frac{1\pm \gamma_5}{2}$は射影演算子である。この公式により、積を取るスピノル成分の組み合わせを変更できる。このような組み替え公式はほかにも多数あり、それらはフィルツ恒等式と呼ばれる。そして、それらの公式によって組み替えを行うことをフィルツ変換という。本ページではフィルツ恒等式の基本原理を述べ、様々な公式を導出する。

行列の展開とフィルツ変換の基本式

　フィルツ変換の基本は、行列を基底で展開することである。ガンマ行列の公式-完備性・直交性によると、$n$次元空間において、ガンマ行列から作られる以下の行列群 \begin{align*} \begin{cases} \mathbf{1}_{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}, \underbrace{\gamma_{\mu}}_{\mathclap{\text{$n$個}}}, \underbrace{\gamma_{\mu_1\mu_2}}_{\mathclap{\text{$\comb{n}{2}$個}}},\cdots,\underbrace{\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_n}}_{\mathclap{\text{$\comb{n}{n}=1$個}}}\quad(\text{$n$が偶数のとき　合計$2^n$個})\\ \mathbf{1}_{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}, \underbrace{\gamma_{\mu}}_{\mathclap{\text{$n$個}}}, \underbrace{\gamma_{\mu_1\mu_2}}_{\mathclap{\text{$\comb{n}{2}$個}}},\cdots,\underbrace{\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_{\frac{n-1}{2}}}}_{\mathclap{\text{$\comb{n}{\frac{n-1}{2}}$個}}}\quad(\text{$n$が奇数のとき　合計$2^{n-1}$個}) \end{cases} \end{align*} は、 \begin{equation} \label{ortho complete} \begin{split} \tr\qty[\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}\gamma_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l}] =\begin{cases}(-1)^{\floor{\frac{k}{2}}}2^{\floor{\frac{n}{2}}}\delta^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_k}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_l} &\quad(\text{$k=l$のとき})\\ 0&\quad(\text{上記以外のとき}) \end{cases} \end{split} \end{equation} をみたす完備な直交基底となる。以下、$n$が偶数の場合と奇数の場合をまとめるために、 \begin{align*} D\equiv \begin{cases} n&\quad(\text{$n$が偶数のとき})\\ \frac{n-1}{2}&\quad(\text{$n$が奇数のとき}) \end{cases} \end{align*} と置いておく。

　これらの行列を、添え字の組を代表する添え字$P$を使って、\begin{align*} \Gamma_P\quad \qty(P=(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k),\ k=1,2,\cdots,D)\label{index P}\end{align*}と表わすことにする。例えば、$P=(1)$なら$\Gamma_{P}=\gamma_1$であり、$P=(1,2,3)$なら$\Gamma_{P}=\gamma_{123}$である。$P=(0)$のときは$\Gamma_{P}=\mathbf{1}_{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}$とする。また、$\abs{P}$を「ある$P$が代表する添え字の数」とする。例えば、$P=(1)$なら、$\abs{P}=1$であり、$P=(1,2,3)$なら$\abs{P}=3$である。$P=(0)$のときは$\abs{P}=0$とする。以下、添え字$P$についてはアインシュタインの縮約規約を用いず、和を取るときは和の記号を明記する。
　この表記によると、基底の直交性\eqref{ortho complete}式は、 \begin{align*} \tr\qty[\Gamma^P\Gamma_Q] =2^{\floor{\frac{n}{2}}}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\delta^P_Q \end{align*} と表わされる。ここで、$\delta^P_Q$は一般化されたクロネッカーのデルタに$\abs{P}=\abs{Q}$の判定機能を付与したものであり、例えば$P=(\mu_1, \mu_2,\cdots, \mu_k),Q=(\nu_1, \nu_2,\cdots \nu_l)$なら、 \begin{align*} \delta^P_Q=\delta_l^k\delta^{\mu_1 \mu_2\cdots \mu_k}_{\nu_1 \nu_2\cdots \nu_k}\end{align*}である。

　これを使って任意の$2^{\floor{\frac{n}{2}}}\times 2^{\floor{\frac{n}{2}}}$行列$M$を、以下のように展開する: \begin{align} M=\sum_{P}a^{P}\Gamma_{P}.\label{fierz mat expand} \end{align} 係数$a^{Q}$は両辺に$\Gamma^{Q}$を掛けてトレースを取ることで求まり、 \begin{align*} &\tr\qty[\Gamma^Q M] =\sum_{P}a^P\tr\qty[\Gamma^Q\Gamma_P] =\sum_{P}a^P 2^{\floor{\frac{n}{2}}}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\delta^Q_P =a^Q 2^{\floor{\frac{n}{2}}}(-1)^{\floor{\frac{\abs{Q}}{2}}}\\ &\therefore a^P=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\tr\qty[\Gamma^P M] \end{align*} となる。これを\eqref{fierz mat expand}式に代入すると、 \begin{align*} M &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\tr\qty[\Gamma^P M]\Gamma_P \end{align*} である。

　これを添え字表記する。その際、スピノル添え字$A,B,\cdots$に関するトレースは、ガンマ行列の添え字の標準位置に合わせて$^A{}_A$の添え字の配置で和を取るとする: \begin{align*} \tr\qty[M]\equiv M^A{}_A. \end{align*} すると、 \begin{align*} M^C{}_D &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\qty(\Gamma^P)^A{}_BM^B{}_A\qty(\Gamma_P)^C{}_D\\ \delta^C_B\delta^A_D M^B{}_A &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\qty(\Gamma^P)^A{}_BM^B{}_A\qty(\Gamma_P)^C{}_D \end{align*} となる。行列$M$は任意だから、この等式は、 \begin{equation}\label{fierz fund formula} \begin{split} \delta^C_{B’}\delta^{A’}_D &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\qty(\Gamma^P)^{A’}{}_{B’}\qty(\Gamma_P)^C{}_D\\ &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}} \left[(-1)^{\floor{\frac{0}{2}}}\qty(\mathbf{1})^{A’}{}_{B’}\qty(\mathbf{1})^C{}_D +(-1)^{\floor{\frac{1}{2}}}\qty(\gamma^{\mu})^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_{\mu})^C{}_D\right.\\ &\hspace{60pt}+(-1)^{\floor{\frac{2}{2}}}\frac{1}{2!}\qty(\gamma^{\mu_1\mu_2})^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2})^C{}_D\\ &\hspace{80pt}+\left.\cdots +(-1)^{\floor{\frac{D}{2}}}\frac{1}{D!}\qty(\gamma^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_D})^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_{\mu_1\mu_2\cdots \mu_D})^C{}_D\right] \end{split} \end{equation} を意味する。\eqref{fierz fund formula}式最右辺の係数$\frac{1}{2!},\cdots,\frac{1}{D!}$は、各項の和の重複を相殺するためにある。これがフィルツ変換の基本となる式(フィルツ変換の基本式と呼ぼう。)であり、行列の添え字を組み替える役割を果たす。

例

フィルツ変換の基本式を用いて、いくつかの組み替えを行ってみよう。

例1

　本ページ冒頭で記した、4次元ミンコフスキー空間における以下の等式を証明せよ: \begin{align*} \qty(\bar{\psi}_1\gamma^{\mu}P_{\pm}\psi_2)\qty(\bar{\psi}_3\gamma_{\mu}P_{\pm}\psi_4) =\qty(\bar{\psi}_1\gamma^{\mu}P_{\pm}\psi_4)\qty(\bar{\psi}_3\gamma_{\mu}P_{\pm}\psi_2) \end{align*}

<証明>
　4次元ミンコフスキー空間(計量は$\eta_{\mu\nu}=\diag(+1,+1,+1,-1)$)における$\Gamma_P$は、 \begin{align*} \mathbf{1}_{4},\underbrace{\gamma_{\mu}}_{\mathclap{\text{$4$個}}},\underbrace{\gamma_{\mu\nu}}_{\mathclap{\text{$6$個}}},\underbrace{\gamma_{\mu\nu\rho}}_{\mathclap{\text{$4$個}}},\underbrace{\gamma_{\mu\nu\rho\lambda}}_{\mathclap{\text{$1$個}}} \end{align*} の16個である。$\gamma_{\mu\nu\rho}$と$\gamma_{\mu\nu\rho\lambda}$については、ガンマ行列-2-反対称積の双対公式(??),(??)を利用して、反対称積の階数を低減しておこう: \begin{align*} &\gamma_{\mu\nu\rho} =\frac{1}{(4-3)!}(-1)^{\floor{\frac{3}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{3+3\cdot 1}{2}}}\varepsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma_5\gamma^{\lambda} =-i\varepsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma_*\gamma^{\lambda},\\ &\gamma_{\mu\nu\rho\lambda} =\frac{1}{(4-4)!}(-1)^{\floor{\frac{4}{2}}}(-i)^{\floor{\frac{3+3\cdot 1}{2}}}\varepsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma_5 =i\varepsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma_5. \end{align*}

　4次元空間だから、\eqref{fierz fund formula}式において$n=4$として、\begin{align*} \delta^C_{B’}\delta^{A’}_D &=\frac{1}{4}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\qty(\Gamma^P)^{A’}{}_{B’}\qty(\Gamma_P)^C{}_D\\ &=\frac{1}{4} \left[\qty(\mathbf{1}_4)^{A’}{}_{B’}\qty(\mathbf{1}_4)^C{}_D +\qty(\gamma^{\nu})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu})^C{}_D-\frac{1}{2!}\qty(\gamma^{\nu\rho})^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_{\nu\rho})^C{}_D\right.\\ &\hspace{40pt}\left.-\frac{1}{3!}\underbrace{\qty(-i\varepsilon^{\nu\rho\lambda\sigma}\gamma_5\gamma_{\sigma})^{A’}{}_{B’}\qty(-i\varepsilon_{\nu\rho\lambda\kappa}\gamma_5\gamma^{\kappa})^C{}_D}_{\varepsilon^{\nu\rho\lambda\sigma}\varepsilon_{\nu\rho\lambda\kappa}=(-1)^1 3!\delta^{\lambda}_{\kappa}} +\frac{1}{4!}\underbrace{\qty(i\varepsilon^{\nu\rho\lambda\sigma}\gamma_5)^{A’}{}_{B’}\qty(i\varepsilon_{\nu\rho\lambda\sigma}\gamma_5)^C{}_D}_{\varepsilon^{\nu\rho\lambda\sigma}\varepsilon_{\nu\rho\lambda\sigma}=(-1)^1 4!}\right]\\ &=\frac{1}{4} \left[\delta^{A’}_{B’}\delta^C_D +\qty(\gamma^{\nu})^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_{\nu})^C{}_D-\frac{1}{2!}\qty(\gamma^{\nu\rho})^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_{\nu\rho})^C{}_D -\qty(\gamma_5\gamma_{\nu})^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_5\gamma^{\nu})^C{}_D +\qty(\gamma_5)^{A’}{}_{B’}\qty(\gamma_5)^C{}_D\right] \end{align*} となる。この両辺に$\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm})^A{}_{A’}\qty(\gamma_{\mu} P_{\pm})^{B’}{}_B$を掛けると、\begin{align*} \delta^C_{B’}\delta^{A’}_D\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm})^A{}_{A’}\qty(\gamma_{\mu} P_{\pm})^{B’}{}_B &=\frac{1}{4}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\qty(\Gamma^P)^{A’}{}_{B’}\qty(\Gamma_P)^C{}_D\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm})^A{}_{A’}\qty(\gamma_{\mu} P_{\pm})^{B’}{}_B\\ \qty(\gamma^{\mu}P_{\pm})^A{}_D\qty(\gamma_{\mu} P_{\pm})^C{}_B &=\frac{1}{4} \left[\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma_{\mu} P_{\pm})^A{}_B\delta^C_D +\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma^{\nu}\gamma_{\mu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu})^C{}_D\right.\\ &\hspace{40pt}-\frac{1}{2!}\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma^{\nu\rho}\gamma_{\mu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu\rho})^C{}_D -\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma_5\gamma_{\nu}\gamma_{\mu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_5\gamma^{\nu})^C{}_D\\ &\hspace{60pt}\left.+\qty(\gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma_5\gamma_{\mu}P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_5)^C{}_D\right] \end{align*} となる。右辺の各項における行列の積を計算しよう。その際、ガンマ行列-2-反対称積の挟み込み公式(??)を使う。

• 第1項
  \begin{align*} \gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma_{\mu} P_{\pm} =\gamma^{\mu}\gamma_{\mu} P_{\mp}P_{\pm} =0 \end{align*}


• 第2項
  \begin{align*} \gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma^{\nu}\gamma_{\mu} P_{\pm} =\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma_{\mu} \qty(P_{\pm})^2 =(-1)^{\floor{\frac{1}{2}}}(-1)^{1\cdot 1}2\gamma^{\nu} P_{\pm} =-2\gamma^{\nu} P_{\pm} \end{align*}


• 第3項
  \begin{align*} \gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma^{\nu\rho}\gamma_{\mu} P_{\pm} =\gamma^{\mu}\gamma^{\nu\rho}\gamma_{\mu} P_{\mp}P_{\pm} =0 \end{align*}


• 第4項
  \begin{align*} \gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma_5\gamma_{\nu}\gamma_{\mu} P_{\pm} =\gamma^{\mu}\gamma_5\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\qty(P_{\pm})^2 =\gamma^{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\underbrace{\gamma_5P_{\pm}}_{=\pm P_{\pm}} =\pm(-1)^{\floor{\frac{1}{2}}}(-1)^{1\cdot 1}2\gamma_{\nu}P_{\pm} =\mp 2\gamma_{\nu}P_{\pm} \end{align*}


• 第5項
  \begin{align*} \gamma^{\mu}P_{\pm}\gamma_5\gamma_{\mu}P_{\pm} =\gamma^{\mu}\gamma_{\mu}P_{\mp}P_{\pm} =0 \end{align*}

　以上より、 \begin{align*} \qty(\gamma^{\mu}P_{\pm})^A{}_D\qty(\gamma_{\mu} P_{\pm})^C{}_B &=\frac{1}{4} \qty[\qty(-2\gamma^{\nu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu})^C{}_D \pm 2\qty(\gamma_{\nu}P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_5\gamma^{\nu})^C{}_D]\\ &=-\frac{1}{2}\qty[\qty(\gamma^{\nu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu})^C{}_D \mp\qty(\gamma^{\nu}P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_5\gamma_{\nu})^C{}_D]\\ &=-\frac{1}{2}\qty(\gamma^{\nu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu} \mp\gamma_5\gamma_{\nu})^C{}_D\\ &=-\frac{1}{2}\qty(\gamma^{\nu} P_{\pm})^A{}_B\qty[\qty(\mathbf{1}_4 \mp\gamma_5)\gamma_{\nu}]^C{}_D\\ &=-\frac{1}{2}\qty(\gamma^{\nu} P_{\pm})^A{}_B\qty(2P_{\mp}\gamma_{\nu})^C{}_D\\ &=-\qty(\gamma^{\nu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu}P_{\pm})^C{}_D \end{align*} が得られる。
　この両辺に$\qty(\bar{\psi}_1)_A\qty(\psi_2)^D\qty(\bar{\psi}_3)_C\qty(\psi_4)^B$を掛けると、 \begin{align*} \qty(\gamma^{\mu}P_{\pm})^A{}_D\qty(\gamma_{\mu} P_{\pm})^C{}_B\qty(\bar{\psi}_1)_A\qty(\psi_2)^D\qty(\bar{\psi}_3)_C\qty(\psi_4)^B &=-\qty(\gamma^{\nu} P_{\pm})^A{}_B\qty(\gamma_{\nu}P_{\pm})^C{}_D\qty(\bar{\psi}_1)_A\qty(\psi_2)^D\qty(\bar{\psi}_3)_C\qty(\psi_4)^B\\ \qty(\bar{\psi}_1\gamma^{\mu}P_{\pm}\psi_2)\qty(\bar{\psi}_3\gamma_{\mu}P_{\pm}\psi_4) &=\qty(\bar{\psi}_1\gamma^{\mu}P_{\pm}\psi_4)\qty(\bar{\psi}_3 \gamma^{\mu}P_{\pm}\psi_2) \end{align*} となり、求める式が得られる。最後の右辺では、グラスマン数の奇数回の入替えにより符号が反転している。
<証明終>

例2

　$n$次元空間において、以下の等式を証明せよ: \begin{align} \label{schwartz1} &\qty(\bar{\psi}_1\Gamma^M\psi_2)\qty(\bar{\psi}_3\Gamma^N\psi_4) =-\frac{1}{4^{\floor{\frac{n}{2}}}} \sum_{P,Q}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}+\floor{\frac{\abs{Q}}{2}}}\tr\qty[\Gamma^P\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N] \qty(\bar{\psi}_1\Gamma_P\psi_4)\qty(\bar{\psi}_3\Gamma_Q\psi_2). \end{align} <証明>
　フィルツ変換の基本式: \begin{align*} \delta^C_{B’}\delta^{A’}_D &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\qty(\Gamma^P)^{A’}{}_{B’}\qty(\Gamma_P)^C{}_D \end{align*} の両辺に$\qty(\Gamma^M)^A{}_{A’}\qty(\Gamma^N)^{B’}{}_B$を掛けると、 \begin{align*} \qty(\Gamma^M)^A{}_D\qty(\Gamma^N)^C{}_B &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{Q}(-1)^{\floor{\frac{\abs{Q}}{2}}}\qty(\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N)^A{}_B\qty(\Gamma_Q)^C{}_D \end{align*} となる。ここで、 \begin{align*} \qty(\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N)^A{}_B =\qty(\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N)^E{}_F\delta^A_E\delta^F_B \end{align*} として、$\delta^A_E\delta^F_B$に対して再びフィルツ変換の基本式を適用すると、 \begin{align*} \qty(\Gamma^M)^A{}_D\qty(\Gamma^N)^C{}_B &=\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{Q}(-1)^{\floor{\frac{\abs{Q}}{2}}}\qty(\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N)^E{}_F\qty[\frac{1}{ 2^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}}\qty(\Gamma^P)^F{}_E\qty(\Gamma_P)^A{}_B]\qty(\Gamma_Q)^C{}_D\\ &=\frac{1}{4^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P,Q}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}+\floor{\frac{\abs{Q}}{2}}}\qty(\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N\Gamma^P)^E{}_E\qty(\Gamma_P)^A{}_B\qty(\Gamma_Q)^C{}_D\\ &=\frac{1}{4^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P,Q}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}+\floor{\frac{\abs{Q}}{2}}}\tr\qty[\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N\Gamma^P] \qty(\Gamma_P)^A{}_B\qty(\Gamma_Q)^C{}_D \end{align*} が得られる。この両辺に$\qty(\bar{\psi}_1)_A\qty(\psi_2)^D\qty(\bar{\psi}_3)_C\qty(\psi_4)^B$を掛けると、 \begin{align*} \qty(\bar{\psi}_1\Gamma^M\psi_2)\qty(\bar{\psi}_3\Gamma^N\psi_4) &=-\frac{1}{4^{\floor{\frac{n}{2}}}}\sum_{P,Q}(-1)^{\floor{\frac{\abs{P}}{2}}+\floor{\frac{\abs{Q}}{2}}}\tr\qty[\Gamma^M\Gamma^Q\Gamma^N\Gamma^P] \qty(\bar{\psi}_1\Gamma_P\psi_4)\qty(\bar{\psi}_3\Gamma_Q\psi_2) \end{align*} となり、求める式が得られる。
<証明終>

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1. 今、基底として考えている$\Gamma_P$はどれも階数が次元$n$以下であり、かつ、$n$が奇数のときでも、$\Gamma^P\Gamma_Q$において$\abs{P}+\abs{Q}\lt n$をみたすから、ガンマ行列の公式-3-トレースに関しての(??)式における例外的な場合は考慮しなくてよい。
2. この公式は、文献の11章の章末問題に載っている公式であるが、それとは右辺の符号が異なっている。これは、スピノル成分をグラスマン数として扱っているか通常の数として扱っているかの違いから生じている。\eqref{schwartz1}式についても同様である。

参考文献

1. 藤井保憲, 超重力理論入門
2. Matthew D. Schwartz (2014). Quantum Field Theory and the Standard Model, New York: Cambridge University Press