座標変換によるスピノルの変換
ここでは3次元回転の座標変換によってスピノルがどのように変換されるかを考える。ベクトルの3次元回転は直交行列$R\ (RR^t=\mathbf{1})$によって表される変換のうち、恒等変換$R=\mathbf{1}$から連続的に移れる変換を指す。直交行列で表されるが、恒等変換から連続的に移れない変換も存在し、今の場合は空間反転がそれにあたる。空間反転についても、3次元回転を考えた後に議論する。
3次元回転
回転行列$R$で表される3次元回転の座標変換において、ベクトルを反変成分と共変基底の組$\vec{x}=\vec{e}_i x^i$で表したとき、反変成分は$x’^i=\qty(R^{t})^{i}{}_{j}x^j$、共変基底は$\vec{e}’_i=\vec{e}_jR^{j}{}_{i}$と変換された。一方、ベクトルを共変成分と反変基底の組$\vec{x}=x_i\vec{e}^i$で表したときは、
共変成分は$x’_i=x_j R^{j}{}_{i}$、反変基底は$\vec{e}’^i=\qty(R^{t})^{i}{}_{j}\vec{e}^j$と変換された。いずれの場合も成分と基底の変換が相殺し、ベクトル$\vec{x}$は不変に保たれるのだった。
スピノルは$\spn{\xi}=\sum_{a=1}^{2}\spn{e}_a\xi^a,\ \spn{\zeta}=\sum_{a=1}^{2}\zeta_a\spn{e}^a$と書かれた。スピノルも共変量の仲間ならば、座標変換において同じ仕組みで不変であってほしい。そこで、スピノルの基底と成分もそれぞれ何らかの変換行列$S_R$によって
\begin{align*}
&\spn{e}’_a=\spn{e}_b\qty(S_{R})^{b}{}_{a},\quad
\xi’^a=\qty(S^{-1}_R)^{a}{}_{b}\xi^b\\ &\spn{e}’^a=\qty(S_{R}^{-1})^{a}{}_{b}\spn{e}^b,\quad
\zeta’_a=\zeta_b \qty(S_R)^{b}{}_{a}
\end{align*}
と変換されるとし、この変換行列$S_R$がみたすべき条件を考えよう。
スピノルの導入で登場したベクトル成分とスピノル成分の関係式:
\begin{align*}
x^i=\tr\qty[\xi\zeta\sigma^i]=\zeta\sigma^i\xi
\end{align*}
より、変換後のベクトルの成分$x’^i$は
\begin{align*}
x’^i
=\zeta’\sigma^i\xi’
=\zeta S_R\sigma^i S_R^{-1}\xi
\end{align*}
と表わされる。ここでもし、$S_R$が
\begin{align}
S_R\sigma^i S_R^{-1}=(R^{t})^{i}{}_{j}\sigma^j\label{c1}
\end{align}
をみたすならば、
\begin{align*}
\zeta S_R\sigma^i S_R^{-1}\xi
=(R^{t})^{i}{}_{j}\underbrace{\zeta\sigma^j\xi}_{=x^j}
=(R^{t})^{i}{}_{j}x^j
\end{align*}
となり、ベクトル成分の変換則が得られる。
\eqref{c1}式の条件より$S_R$の具体形を求めていこう。そのために、まず無限小変換を考える:
\begin{align}
R^{i}{}_{j}=\delta^i_j+\Delta\lambda^{i}{}_{j}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\qty(R^{-1})^{i}{}_{j}=\qty(R^{t})^{i}{}_{j}=\delta^i_j+\Delta\lambda_{j}{}^{i},\quad(\Delta\lambda^{i}{}_{j}<<1).\label{mugensyo}
\end{align}
\eqref{mugensyo}式における$\Delta\lambda^{i}{}_{j}$は、$i,j$の入替えについて反対称である。なぜなら、
\begin{align*}
\delta^{i}_{j}
&=R^{i}{}_{k}\underbrace{\qty(R^{-1})^{k}{}_{j}}_{=\qty(R^{t})^{k}{}_{j}=R_{j}{}^{k}}\\
&=R^{i}{}_{k}R_{j}{}^{k}\\
&=\qty(\delta^i_k+\Delta\lambda^{i}{}_{k})\qty(\delta^k_j+\Delta\lambda_{j}{}^{k})\\
&=\delta^i_j+\Delta\lambda^{i}{}_{j}+\Delta\lambda_{j}{}^{i}\\
0&=\Delta\lambda^{i}{}_{j}+\Delta\lambda_{j}{}^{i}\\
\Delta\lambda_{ij}&=-\Delta\lambda_{ji}
\end{align*}
だからである。
今、この無限小変換に対して
\begin{align*}
S_R=\mathbf{1}_2+\Delta\lambda_{ij}X^{ij}
\quad\Longleftrightarrow\quad
S_R^{-1}=\mathbf{1}_2-\Delta\lambda_{ij}X^{ij}\quad(\text{$X^{ij}$は行列})
\end{align*}
と置くと、\eqref{c1}式より
\begin{align*}
S_R\sigma^iS_R^{-1}&=(R^{t})^{i}{}_{j}\sigma^j\\
\qty(\mathbf{1}_2+\Delta\lambda_{ij}X^{ij})\sigma^i\qty(\mathbf{1}_2-\Delta\lambda_{jk}X^{jk})&=\qty(\delta^i_j-\Delta\lambda^{i}{}_{j})\sigma^j\\
\sigma^i+\Delta\lambda_{jk}X^{jk}\sigma^i-\sigma^i\Delta\lambda_{jk}X^{jk}&=\sigma^i-\Delta\lambda^{i}{}_{j}\sigma^j\\
\sigma^i\Delta\lambda_{jk}X^{jk}-\Delta\lambda_{jk}X^{jk}\sigma^i&=\Delta\lambda^{i}{}_{j}\sigma^j
\end{align*}
という方程式が得られる。この方程式の解を
\begin{align}
X^{ij}=A\sigma^{i}\sigma^j,\quad(\text{$A$は定数})\label{anzatz}
\end{align}
と予想すると、
\begin{align*}
\Delta\lambda^{i}{}_{j}\sigma^j
&=A\sigma^i\Delta\lambda_{jk}\sigma^{j}\sigma^{k}-A\Delta\lambda_{jk}\sigma^{j}\sigma^{k}\sigma^i\\
&=A\Delta\lambda_{jk}\qty(2\delta^{ij}-\cancel{\sigma^{j}\sigma^{i}})\sigma^{k}-A\Delta\lambda_{jk}\sigma^{j}\qty(2\delta^{ki}-\cancel{\sigma^{i}\sigma^{k}})\\
&=4A\Delta\lambda^{i}{}_{j}\sigma^{j}
\end{align*}
である。したがって、$A$を
\begin{align*}
A=\frac{1}{4}
\end{align*}
と定めれば、\eqref{anzatz}式は解となる。よって、無限小変換\eqref{mugensyo}式に対して、
\begin{align*}
S_R=\mathbf{1}_2+\frac{1}{4}\Delta\lambda_{ij}\sigma^{i}\sigma^{j}
=\mathbf{1}_2+\frac{1}{4}\Delta\lambda_{ij}\frac{1}{2}\underbrace{\qty[\sigma^{i},\sigma^{j}]}_{=2i\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}}
=\mathbf{1}_2+\frac{i}{4}\Delta\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}
\end{align*}
である。
有限の変換は無限小変換を繰り返すことで得られるから、その表式は、($N\Delta\lambda_{ij}\equiv\lambda_{ij}$を一定に保つように掛ける回数$N$を大きく、$\Delta\lambda_{ij}$を小さくする極限を取ることで)
\begin{align}
S_R
&=\lim_{N\to \infty}\qty(\mathbf{1}_2+\frac{i}{4}\Delta\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k})^N\notag\\
&=\exp\qty[\frac{i}{4}\underbrace{N\Delta\lambda_{ij}}_{\equiv\lambda_{ij}}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}]\notag\\
&=\exp\qty[\frac{i}{4}\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}]\label{su2-a}
\end{align}
と得られる。
今、ガンマ行列をエルミート行列(パウリ行列)としているから、$S_R$はユニタリーである。なぜなら、
\begin{align*}
\qty(S_R)^{\dag}
=\exp\qty[-\frac{i}{4}\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\underbrace{\qty(\sigma_{k})^{\dag}}_{=\sigma_k}] =\exp\qty[-\frac{i}{4}\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}]
=S_R^{-1}
\end{align*}
だからである。したがって、共変スピノル成分$\zeta$と反変スピノル成分のエルミート共役$\xi^{\dag}$は同じ変換則に従うことが言える。ただし、この性質は表示に依存し、一般には成り立たないことに注意されたい。
$x^1,x^2,x^3$軸まわりの回転に対応する行列$S_R$
具体的に、ベクトルの$x^1,x^2,x^3$軸まわりの回転に対応する行列$S_R$を求めてみよう。
- $x^1$軸まわりの回転
ベクトルに対する回転行列は、$R_{x^1}(\theta)=\mqty(1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta)$である。
回転角が微小($\Delta\theta<<1$)のとき、
\begin{align*}
R_{x^1}(\Delta\theta)\simeq
\mqty(1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\Delta\theta \\ 0 & \Delta\theta & 1)
=\mathbf{1}_3+\mqty(0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\Delta\theta \\ 0 & \Delta\theta & 0)
\end{align*}
だから、
\begin{align*}
\Delta\lambda_{ij}=
\begin{cases}
-\Delta\theta &(\text{$i=2,j=3$のとき})\\
\Delta\theta &(\text{$i=3,j=2$のとき})\\
0 & (\text{その他})
\end{cases}
\end{align*}
である。
よって、
\begin{align}
S_{R_{x^1}}
&=\exp\qty[\frac{i}{4}\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}]
=\exp\qty[\frac{i}{4}N\qty(\Delta\lambda_{23}\varepsilon^{231}+\Delta\lambda_{32}\varepsilon^{321})\sigma_{1}]\notag\\
&=\exp\qty[-\frac{i}{2}\underbrace{N\Delta\theta}_{=\theta}\sigma_{1}]
=\exp\qty[-i\frac{\theta}{2}\sigma_{1}]
=\cos\frac{\theta}{2}\mathbf{1}_2-i\sin\frac{\theta}{2}\sigma_1\notag\\
&=\mqty(\cos\frac{\theta}{2} & -i\sin\frac{\theta}{2} \\ -i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2})\label{3d rot x axis}
\end{align}
が得られる。
- $x^2$軸まわりの回転
ベクトルに対する回転行列は、$R_{x^2}(\theta)=\mqty(\cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta)$である。
回転角が微小($\Delta\theta<<1$)のとき
\begin{align*}
R_{x^2}(\Delta\theta)\simeq
\mqty(1 & 0 & \Delta\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\Delta\theta & 0 & 1)
=\mathbf{1}_3+\mqty(0 & 0 & \Delta\theta \\ 0 & 0 & 0 \\ -\Delta\theta & 0 & 0)
\end{align*}
だから、
\begin{align*}
\Delta\lambda_{ij}=
\begin{cases}
\Delta\theta &(\text{$i=1,j=3$のとき})\\
-\Delta\theta &(\text{$i=3,j=1$のとき})\\
0 & (\text{その他})
\end{cases}
\end{align*}
である。
よって、
\begin{align}
S_{R_{x^2}}
&=\exp\qty[\frac{i}{4}\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}]
=\exp\qty[\frac{i}{4}N\qty(\Delta\lambda_{13}\varepsilon^{132}
+\Delta\lambda_{31}\varepsilon^{312})\sigma_{2}]\notag\\
&=\exp\qty[-\frac{i}{2}\underbrace{N\Delta\theta}_{=\theta}\sigma_{2}]
=\exp\qty[-i\frac{\theta}{2}\sigma_{2}]
=\cos\frac{\theta}{2}\mathbf{1}_2-i\sin\frac{\theta}{2}\sigma_2\notag\\
&=\mqty(\cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2})
\label{3d rot y axis}
\end{align}
が得られる。
- $x^3$軸まわりの回転
ベクトルに対する回転行列は、$R_{x^3}(\theta)
=\mqty(\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1)$である。
回転角が微小($\Delta\theta<<1$)のとき
\begin{align*}
R_{x^3}(\Delta\theta)\simeq
\mqty(1 & -\Delta\theta & 0 \\ \Delta\theta & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1)
=\mathbf{1}_3+\mqty(0 & -\Delta\theta & 0 \\ \Delta\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0)
\end{align*}
だから、
\begin{align*}
\Delta\lambda_{ij}=
\begin{cases}
-\Delta\theta &(\text{$i=1,j=2$のとき})\\
\Delta\theta &(\text{$i=2,j=1$のとき})\\
0 & (\text{その他})
\end{cases}
\end{align*}
である。
よって、
\begin{align}
S_{R_{x^3}}
&=\exp\qty[\frac{i}{4}\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_{k}]
=\exp\qty[\frac{i}{4}N\qty(\Delta\lambda_{12}\varepsilon^{123}+\Delta\lambda_{21}\varepsilon^{213})\sigma_{3}]\notag\\
&=\exp\qty[-\frac{i}{2}\underbrace{N\Delta\theta}_{=\theta}\sigma_{3}]
=\exp\qty[-i\frac{\theta}{2}\sigma_{3}]
=\cos\frac{\theta}{2}\mathbf{1}_2-i\sin\frac{\theta}{2}\sigma_3\notag\\
&=\mqty(\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2} & 0 \\ 0 & \cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})
=\mqty(e^{-i\frac{\theta}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\theta}{2}})\label{3d rot z axis}
\end{align}
が得られる。
\eqref{3d rot x axis}式、\eqref{3d rot y axis}式、\eqref{3d rot z axis}式を見ると、$S_R$には回転角$\theta$が必ず$\frac{1}{2}$倍された状態で登場することが分かる。つまり、3次元空間内で360度回転の座標変換を施しても、スピノルは元のようには見えず、マイナスの因子がついた状態で見えるということである。
$S_R$の性質について
ここで、$S_R$の性質をまとめておこう。
$S_R$は$\mathrm{SU}(2)$の2次元表現と呼ばれる行列である。$\mathrm{SU}(2)$とは、
\begin{align}
MM^{\dag}=\mathbf{1}_2,\quad
\det M=+1 \label{su2-1}
\end{align}
をみたす$2\times 2$行列がなす群である。このような行列について、以下の2つの事項が成り立つ。
- $\mathrm{SU}(2)$の2次元表現の任意の元は
\begin{align}
M=\mqty(\alpha & \beta \\ -\beta^* & \alpha^*),\quad \qty(\abs{\alpha}^2+\abs{\beta}^2=1,\quad \alpha,\beta\in\mathbb{C})\label{SU2}
\end{align}
と書ける。
<証明>
$M=\mqty(\alpha & \beta \\ \gamma & \delta)$とすると、
\begin{align*}
\begin{cases}
MM^{\dag}=\mqty(\abs{\alpha}^2+\abs{\beta}^2 & \alpha\gamma^*+\beta\delta^* \\
\gamma\alpha^*+\delta\beta^* & \abs{\gamma}^2+\abs{\delta}^2)
=\mqty(1 & 0 \\ 0 & 1)\\
\det M=\alpha\delta-\gamma\beta=+1
\end{cases}
\end{align*}
である。$\gamma\alpha^*+\delta\beta^*=0$より、$\delta=-\frac{\gamma\alpha^*}{\beta^*}, \gamma=-\frac{\delta\beta^*}{\alpha^*}$であり、それぞれ$\alpha\delta-\gamma\beta=+1$に代入することにより、
\begin{align*}
&\alpha\delta-\gamma\beta
=-\alpha\frac{\gamma\alpha^*}{\beta^*}-\gamma\beta
=-\frac{\gamma}{\beta^*}\underbrace{\qty(\abs{\alpha}^2+\abs{\beta}^2)}_{=1}=-\frac{\gamma}{\beta^*}=+1\\
&\quad\Longleftrightarrow\quad
\gamma=-\beta^*,\\
\\
&\alpha\delta-\gamma\beta=\alpha\delta+\frac{\delta\beta^*}{\alpha^*}\beta =\frac{\delta}{\alpha^*}\underbrace{\qty(\abs{\alpha}^2+\abs{\beta}^2)}_{=1}=\frac{\delta}{\alpha^*}=+1\\
&\quad\Longleftrightarrow\quad
\delta=\alpha^*
\end{align*}
が得られる。以上より、$M=\mqty(\alpha & \beta \\ -\beta^* & \alpha^*),\quad \qty(\abs{\alpha}^2+\abs{\beta}^2=1)$と書けることが分かる。
<証明終> - $\mathrm{SU}(2)$の2次元表現の任意の元は
\begin{align*}
M=\exp\qty[i\sum_{i=1}^{3}t^i\sigma_{i}]
\quad(\text{ただし、$t^i$は実数パラメーター})
\end{align*}
とも書ける。
<証明>
$\mathbf{1}_2$に限りなく近い$\mathrm{SU}(2)$の元を、各成分が微小な行列$X\ (X_{ab}<<1)$を用いて
\begin{align}
M=\mathbf{1}_2+iX\label{su2-4}
\end{align}
と書く。これを\eqref{su2-1}式左側に代入すると、
\begin{align}
\qty(\mathbf{1}_2+iX)\qty(\mathbf{1}_2-iX^{\dag})&=\mathbf{1}_2\notag\\
\mathbf{1}_2+X-iX^{\dag}&\simeq \mathbf{1}_2\notag\\
iX-iX^{\dag}&=\mathbf{0}_2\notag\\
X&=X^{\dag}\label{su2-2}
\end{align}
である。これは$X$がエルミート行列であることを意味する。
また、\eqref{su2-1}式右側からは、
\begin{align}
\det\qty(\mathbf{1}_2+iX)&=+1\notag\\
\varepsilon^{a_1a_2}\qty(\delta_{1a_1}+iX_{1a_1})\qty(\delta_{2a_2}+iX_{2a_2})&=1\notag\\
\qty(1+iX_{11})\qty(1+iX_{22})&\simeq 1\notag\\
1+iX_{11}+iX_{22}&\simeq 1\notag\\
X_{11}+X_{22}&=0\notag\\
\tr\qty[X]&=0\label{su2-3}
\end{align}
が得られる。
\eqref{su2-2}式と\eqref{su2-3}式をみたす$2\times 2$行列の自由度は
\begin{align*}
\text{$2\times 2$エルミート行列の自由度}-\text{トレースが0という条件}=2^2-1=3
\end{align*}
である1。このような行列として、パウリ行列を選ぶことができる。一般に$X$はこれらを実係数で線形結合を取ったものであり、微小な係数$\Delta t^i<<1$を用いて、
\begin{align*}
X=\Delta t^i\sigma_i
\end{align*}
と表わせる。
$\mathbf{1}_2$から近いとは限らない任意の元は、\eqref{su2-4}式をたくさん掛け合わせることで表現でき、
($N\Delta t^i\equiv t^i$を一定に保つように掛ける回数$N$を大きく、$\Delta t^i$を小さくする極限を取ることで)
\begin{align*}
M=\lim_{N\to\infty}\qty(\mathbf{1}_2+i\Delta t^i\sigma_i)^N
=\exp\qty[i\underbrace{N\Delta t^i}_{\equiv t^i}\sigma_i]
=\exp\qty[it^i\sigma_i]
\end{align*}
とできる。
この形はまさに\eqref{su2-a}式である。つまり、\eqref{su2-a}式で任意の$\mathrm{SU}(2)$の元を表せるということである。
<証明終>
空間反転
ベクトル成分$x^i$の符号を反転させる変換:$x^i\to-x^i$を3次元空間反転と呼ぶ。空間反転$x^i\to x’^i=P^{i}{}_{j}x^j$を表す行列$P$は明らかに以下のように書ける:
\begin{align*}
P^{i}{}_{j}=\qty(P^{-1})^{i}{}_{j}=\mqty(-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1).
\end{align*}
この変換に対応するスピノルの基底や成分の変換行列を$\breve{S}_P$とする。つまり、スピノルの基底や成分は以下のように変換される:
\begin{align*}
&\spn{e}’_a=\spn{e}_b\qty(\breve{S}_P)^{b}{}_{a},\quad \xi’^a=\qty(\breve{S}_P^{-1})^{a}{}_{b}\xi^b\\
&\spn{e}’^a=\qty(\breve{S}_P^{-1})^{a}{}_{b}\spn{e}^b,\quad
\zeta’_a=\zeta_b \qty(\breve{S}_P)^{b}{}_{a}.
\end{align*}
この$\breve{S}_P$を求めてみよう。前項における\eqref{c1}式と全く同様にして、 \begin{align*}
\breve{S}_P\sigma^i \breve{S}_P^{-1}=\qty(P^{-1})^{i}{}_{j}\sigma^j=-\sigma^i
\end{align*}
が成り立てばよいことが分かる。
しかし、$2\times 2$行列の範囲でこのような行列は存在しないことがすぐに分かる。そこで、以下のようにガンマ行列のサイズを上げて考えることにする:
\begin{align}
\sigma_i\to\breve{\sigma}_{i}=\sigma_3\otimes \sigma_i=\mqty(\sigma_i & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\sigma_i).\label{expanded sigma}
\end{align}
このガンマ行列が作用するスピノルは4成分数ベクトルとして書かれる。上2成分は$\sigma_i$が掛かる部分で、下2成分は$-\sigma_i$が掛かる部分である。
このとき、例えば
\begin{align}
\breve{S}_P\propto\sigma_1\otimes\mathbf{1}_2=\mqty(\mathbf{0}_2 & \mathbf{1}_2 \\ \mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2)
\quad\text{や}\quad
\breve{S}_P\propto\sigma_2\otimes\mathbf{1}_2=\mqty(\mathbf{0}_2 & -i\mathbf{1}_2 \\ i\mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2)\label{3d parity 1}
\end{align}
とすれば、
\begin{align*}
\breve{S}_P\breve{\sigma}^i \breve{S}_P^{-1}=P^{i}{}_{j}\breve{\sigma}^j=-\breve{\sigma}^i
\end{align*}
をみたす。これが求めていた$\breve{S}_P$である。今の$\breve{S}_P$の表示では、スピノルの空間反転は上2成分と下2成分を入れ替えるような変換であることが見て取れる。
\eqref{3d parity 1}式の比例係数を$\alpha_P$と置こう。$\alpha_P$は、後に紹介する$C$行列との整合性を考慮することによって値が定まる。その議論は$C$行列の導入時に行うが、ここでは結果だけを載せておく:
\begin{align*}
\breve{S}_P
=\pm\sigma_1\otimes\mathbf{1}_2
=\pm\mqty(\mathbf{0}_2 & \mathbf{1}_2 \\ \mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2),\quad
\breve{S}_P
=\pm i\sigma_2\otimes\mathbf{1}_2
=\pm\mqty(\mathbf{0}_2 & \mathbf{1}_2 \\ -\mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2).
\end{align*}
空間反転と3次元回転を合わせて行いたいときは、3次元回転の場合の変換行列も$4\times 4$行列に拡げなければならない。そのときは、 \eqref{expanded sigma}式の$\breve{\sigma}_i$を$\sigma_i$の代わりに用いて変換行列を求めればよい。それを$\breve{S}_R$とすると、$\breve{\sigma}^i\breve{\sigma}^j=\mathbf{1}_2\otimes\sigma^i\sigma^j$より直ちに
\begin{align*}
\breve{S}_R =\mathbf{1}_2\otimes S_{R}
=\mqty(S_R & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & S_R)
\end{align*}
と書けることが分かる。$S_R$は\eqref{su2-a}式の$2\times 2$変換行列である。$\breve{S}_R$の表式から、回転の下では上2成分と下2成分は全く同じ変換を受けることが分かる。そのため、今考えている4成分スピノルは、3次元回転のときに導入した2成分スピノルをコピーして2つ縦に並べたものと解釈してよい。
スピノルの一般座標変換は定義できない
スカラー・ベクトル・テンソルは一般座標変換のもとで一定の変換規則に従うのだった。一方、ここで導入したスピノルは、3次元回転と空間反転のもとでの変換則しか与えられていない。そこで、スピノルにも一般座標変換に対する変換則が与えられるのかという疑問が生じるだろう。
結論から言うと、一般に回転やローレンツ変換以外でスピノルを考えることは不可能である。それは、ディラックのベルトトリックという現象を取り上げると直感的に理解しやすい。これは以下のような現象である。
「ベルトの片方を固定し、もう片方を360度回転させるとベルトがねじれて、連続変形では捩れを解消できなくなる。しかし、さらに360度(合計720度)回転させるとベルトは連続変形により元の状態に戻せる。」
これはスピノルの、「360度回転させても元に戻らずにマイナスの因子がつき、720度回転させることで初めて元に戻る」という挙動と対応させることができる。このことから、スピノルが回転という変換に対して一貫した変換則を持つことが視覚的にわかる。
しかし、一般座標変換の場合は異なる。一般座標変換では、空間が不規則に歪んだり曲がったりする。この場合、回転変換とは異なり、スピノルは整合的に変換されない。ベルトトリックに例えると、一般座標変換の下ではベルトが複雑に絡まってしまい、720度回転しても元に戻らない状態になりうるということである。これが、スピノルに対して一般座標変換を定義することが困難であることの直感的な説明である。
- トレースが0という条件が1自由度を制限するのは、エルミート行列の対角成分が実数だからである。 ↩︎
参考文献
- 佐藤光, 群と物理, 丸善出版, 2022
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