スピノル添え字の上下
スピノル添え字のつけ方
反変スピノル成分は上つき添え字で$\xi^a$、共変スピノル成分は下つき添え字で$\zeta_a$と表わすのだった。(ただし、$a=1,2$.)このとき、$\sigma_i$のスピノル添え字は、スピノルの導入で登場したベクトル成分とスピノル成分の関係式:
\begin{align*}
x^i=\tr\qty[\xi\zeta\sigma^i]=\zeta\sigma^i\xi
\end{align*}
を添え字表記したもの:
\begin{align*}
x^i=\zeta_a\qty(\sigma^i)^{a}{}_{b}\xi^b
\end{align*}
より
\begin{align*}
\qty(\sigma^i)^{a}{}_{b}
\end{align*}
とつけるべきである。
エルミート表示のガンマ行列では、スピノルの変換行列$S_R$はユニタリー: $S_R^{\dag}=S_R^{-1}$だった。したがって、反変スピノル成分のエルミート共役は共変スピノル成分と同じ変換規則にしたがうから、
\begin{align*}
\xi^a\quad\overset{\dag}{\longleftrightarrow}\quad\xi^{\dag}_a,\qquad
\zeta_a\quad\overset{\dag}{\longleftrightarrow}\quad\zeta^{\dag a}
\end{align*}
とする。
反変・共変の入替えと$C$行列
ベクトル成分の添え字は計量テンソルによって上げ下げされ、反変・共変が入れ替わるのだった。スピノル成分についても
\begin{align}
\overline{\zeta^a}\equiv \zeta_bC^{ba},\quad
\underline{\xi_a}\equiv C_{ab}\xi^b
\label{epsilon}
\end{align}
がそれぞれ反変スピノル成分、共変スピノル成分となるような行列$C^{ab},C_{ab}$を求めてみよう1。このような行列を$C$行列または荷電共役行列と呼ぶ。
まず、$C^{ab}$を求める。共変スピノル成分$\zeta$と反変スピノル成分$\xi$の内積
\begin{align*}
\spn{\zeta}\cdot\spn{\xi}=\zeta\xi=\mqty(\zeta_1 & \zeta_2)\mqty(\xi^1 \\ \xi^2)=\zeta_1\xi^1+\zeta_2\xi^2=\zeta_a\xi^a
\end{align*}
は、3次元回転に対してスカラーである。なぜなら、
\begin{align*}
\zeta\xi
\to\zeta’\xi’
=\zeta \underbrace{S_R S_R^{-1}}_{=\mathbf{1}_2}\xi =\zeta\xi
\end{align*}
だからである。
これを成分で書き、さらに\eqref{epsilon}式を用いれば、
\begin{align*}
\zeta_a\xi^a \to \zeta’_a\xi’^a =\zeta’_a\underline{\xi’_b}C^{ba} =C^{ba}\zeta_c(S_R)^{c}{}_{a} \underline{\xi_d}(S_R)^{d}{}_{b} =\zeta_a\underline{\xi_b}\qty(S_R C S_R^t)^{ba}
\end{align*}
となる。(ただし、$C^{ab}$が行列$C$の$(a,b)$成分であるとした。)
これが$\zeta_a\xi^a=\zeta_a\underline{\xi_b}C^{ba}$と等しくあってほしいから、
\begin{align}
C^{ab}=\qty(S_R C S_R^t)^{ab}\quad\Longleftrightarrow\quad \qty(S_R^{-1}C)^{ab}=\qty(C S_R^t)^{ab}\label{epsilon2}
\end{align}
という等式が得られる。
$S_R=\exp\qty[\frac{i}{4}\lambda_{ij}\varepsilon^{ijk}\sigma_k]$の指数の肩の表式から、この等式がみたされるには、
\begin{align}
-\sigma_iC=C\qty(\sigma_i)^t\label{3d charge conj def}
\end{align}
であればよい。
$C$の具体形を求めてみよう。少し考えてみると、\eqref{3d charge conj def}式をみたす$C$として$\sigma_2$に比例する行列を採用できることに気づく。なぜなら、
\begin{align*}
\sigma_i\sigma_2
&=\qty(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\sigma_2\quad(\text{$\sigma_i\ (i=1,2,3)$を横並びで書き出した。})\\
&=\sigma_2\qty(-\sigma_1,\sigma_2,-\sigma_3)\\
&=\sigma_2\qty(-\qty(\sigma_1)^t,\qty(-\sigma_2)^t,-\qty(\sigma_3)^t)\\
&(\text{$\because$転置してマイナス符号が出るのはパウリ行列の中で$\sigma_2$のみ。})\\
&=-\sigma_2\qty(\sigma_i)^t
\end{align*}
だからである。
そこで、
\begin{align*}
C^{ab}=i\qty(\sigma_2)^{ab}=\mqty(0 & 1 \\ -1 & 0)^{ab}
\end{align*}
としよう23。
$C_{ab}$については、添え字を上げて下げると元に戻ってほしいから、
\begin{align*}
\underline{\xi_a}=C_{ab}\xi^{b}
=C_{ab}\underline{\xi_c}C^{cb}
=C_{ab}(C^t)^{bc}\underline{\xi_c}
\end{align*}
において、$C_{ab}(C^t)^{bc}=\delta_a^c$をみたしてほしい。これは簡単に求まり、
\begin{align*}
C_{ab}=\mqty(0 & 1 \\ -1 & 0)_{ab}
\end{align*}
である4。
空間反転と$C$行列
スピノルの座標変換で述べたとおり、空間反転を考えるときは、ガンマ行列のサイズを上げて
\begin{align*}
\sigma_i\to\breve{\sigma}_{i}=\sigma_3\otimes \sigma_i=\mqty(\sigma_i & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\sigma_i).\label{expanded sigma}
\end{align*}
のようにする必要があるのだった。そして、このようにガンマ行列を選んだとき、空間反転に対応する変換行列$\breve{S}_P$は、
\begin{align}
\breve{S}_P=\alpha_P\sigma_1\otimes\mathbf{1}_2=\mqty(\mathbf{0}_2 & \mathbf{1}_2 \\ \mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2)
\quad\text{や}\quad
\breve{S}_P=\alpha_P\sigma_2\otimes\mathbf{1}_2=\mqty(\mathbf{0}_2 & -i\mathbf{1}_2 \\ i\mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2)\label{3d parity 1}
\end{align}
と選べるのだった。
このようにサイズを上げたガンマ行列を用いた際の$C$行列は以下のようにすればよい。
\begin{align*}
C
\to\breve{C}
=\mathbf{1}_2\otimes C
=\mqty(C & \mathbf{0}_2 \\ \mathbf{0}_2 & C)
\end{align*}
実際、これが\eqref{3d charge conj def}式に対応する式:$-\breve{\sigma}_i\breve{C}=\breve{C}\qty(\breve{\sigma}_i)^t$をみたすことは直ちに確認できる。
空間反転行列$\breve{S}_P$に対する$C$行列の作用から比例定数$\alpha_P$の値が決まる。
まず、$\breve{S}_P=\alpha_P\sigma_1\otimes\mathbf{1}_2$の場合を考えてみよう。\eqref{epsilon2}式は$S_R$を$\breve{S}_P$に置き換えても成り立つべきであり、そのとき、
\begin{align*}
\breve{C}
&=\breve{S}_P\breve{C}\breve{S}^t_P\\
&=\qty(\alpha_P\sigma_1\otimes\mathbf{1}_2)
\qty(\mathbf{1}_2\otimes C)
\qty(\alpha_P\sigma^t_1\otimes\mathbf{1}^t_2)\\
&=\alpha_P^2\mathbf{1}_2\otimes C\\
&=\alpha_P^2\breve{C}
\end{align*}
となるから、$\alpha_P=\pm 1$でなければならないことが帰結される。
$\breve{S}_P=\alpha_P\sigma_2\otimes\mathbf{1}_2$のときも同様に考えて、この場合は$\alpha_P=\pm i$を得る。
したがって、$\breve{S}_P$は、
\begin{align*}
\breve{S}_{P+}
=\pm\sigma_1\otimes\mathbf{1}_2
=\pm\mqty(\mathbf{0}_2 & \mathbf{1}_2 \\ \mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2),\quad
\breve{S}_{P-}
=\pm i\sigma_2\otimes\mathbf{1}_2
=\pm\mqty(\mathbf{0}_2 & \mathbf{1}_2 \\ -\mathbf{1}_2 & \mathbf{0}_2).
\end{align*}
と定まる。$\breve{S}_{P\pm}$の$\pm$は、$\qty(\breve{S}_{P\pm})^2=\pm\mathbf{1}_4$であることに由来する。
- この変換には行ベクトルと列ベクトルを入れ替えるために転置の操作が組み込まれていることに注意されたい。例えば$\xi^a=\xi_b C^{ba}$を成分の組で書けば
\begin{align*}
\mqty(\overline{\xi^1} \\ \overline{\xi^2})
=\qty[\mqty(\xi_1 & \xi_2)\mqty(C^{11} & C^{12}\\
C^{21} & C^{22})]^t
\end{align*}
である。 ↩︎ - 係数$i$は$\sigma_2$に含まれる$i$を打ち消すためにつけた。 ↩︎
- この$\sigma_2$の添え字$a,b$の位置は後述する標準的な添え字の位置とは異なるが、今はその添え字の位置を決める段階だから、特に気にする必要はない。 ↩︎
- 本来、$C^{ab}$が行列$C$の$(a,b)$成分を表すとするならば、$C_{ab}$は厳密には$\qty(\qty(C^t)^{-1})_{ab}$と書くべきである。しかし、表記を簡単にするためと、添え字の位置で区別が可能であることから、今後も$C_{ab}$という表記を用いることにする。 ↩︎
参考文献
- 九後汰一郎, 新物理学シリーズ23 ゲージ場の量子論I, 培風館, 2011
コメント